龙贝格积分法在振荡函数积分中的外推加速技术
题目描述
计算定积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 是振荡函数（如 \(f(x) = \sin(kx)g(x)\)），振荡频率 \(k\) 较大时，传统数值积分方法（如梯形法则）收敛缓慢。要求通过龙贝格积分法结合外推技术，高效计算此类积分。
解题过程
1. 问题分析
振荡函数的积分难点在于：函数值正负交替导致积分区间需细分到比振荡周期更小的尺度，否则误差较大。龙贝格积分法的核心思想是通过复合梯形公式的逐次细分和Richardson外推，逐步消除低阶误差项，加速收敛。
2. 龙贝格积分法基础
龙贝格积分法构建一个三角表 \(R_{j,m}\)，其中：
- \(R_{j,0}\) 是步长为 \(h_j = \frac{b-a}{2^j}\) 的复合梯形公式结果。
- 外推公式：
\[ R_{j,m} = R_{j,m-1} + \frac{R_{j,m-1} - R_{j-1,m-1}}{4^m - 1}, \quad m \geq 1. \]
\(R_{j,m}\) 的精度为 \(O(h^{2m+2})\)。
3. 振荡函数的特殊处理
对于振荡函数，直接应用龙贝格法可能仍需大量细分。改进思路：
- 初始步长选择：令初始步长 \(h_0\) 小于振荡周期 \(T = \frac{2\pi}{k}\)，例如 \(h_0 = T/4\)，避免因采样不足漏掉振荡特征。
- 外推加速：利用龙贝格外推公式消除梯形公式的偶数阶误差项（如 \(h^2, h^4, \ldots\)），但对振荡函数，误差可能包含奇数次项，需验证外推有效性。
4. 具体步骤
步骤1：计算初始梯形值
设 \(j=0\) 时，步长 \(h_0 = \frac{b-a}{2^0} = b-a\)，计算：
\[R_{0,0} = \frac{h_0}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]. \]
若振荡频率高，此结果误差极大，需增加 \(j\)（即减半步长）。
步骤2：逐次细分并外推
- j=1：步长 \(h_1 = \frac{b-a}{2}\)，计算复合梯形值：
\[ R_{1,0} = \frac{1}{2} R_{0,0} + h_1 f(a + h_1). \]
外推得：
\[ R_{1,1} = R_{1,0} + \frac{R_{1,0} - R_{0,0}}{4^1 - 1}. \]
此时 \(R_{1,1}\) 精度相当于 Simpson 公式（\(O(h^4)\)）。
- j=2：步长 \(h_2 = \frac{b-a}{4}\)，计算：
\[ R_{2,0} = \frac{1}{2} R_{1,0} + h_2 \left[ f(a+h_2) + f(a+3h_2) \right]. \]
依次外推：
\[ R_{2,1} = R_{2,0} + \frac{R_{2,0} - R_{1,0}}{3}, \quad R_{2,2} = R_{2,1} + \frac{R_{2,1} - R_{1,1}}{15}. \]
\(R_{2,2}\) 精度为 \(O(h^6)\)。
步骤3：振荡函数的收敛判断
- 振荡函数需保证每步细分后至少采样到每个振荡周期的多个点（如4个以上）。
- 收敛条件：若 \(|R_{j,j} - R_{j-1,j-1}| < \epsilon\)（预设容差），则停止并输出 \(R_{j,j}\)。
5. 误差控制与外推的局限性
- 龙贝格外推假设误差可展开为 \(h^2\) 的幂级数，但振荡函数若含非光滑成分，外推效果可能下降。
- 改进：若外推序列震荡发散，可回落至复合梯形公式并保证 \(h < T/4\)，或结合特定振荡积分法（如 Filon 法）。
6. 示例
计算 \(I = \int_0^{\pi} \sin(10x) \, dx\)（精确值 \(I=0\)）。
- 初始步长 \(h_0 = \pi\)，\(R_{0,0} = 0\)。
- \(j=1\)：\(h_1 = \pi/2\)，
\[ R_{1,0} = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\pi}{2} \sin(5\pi) = 0. \]
外推 \(R_{1,1} = 0\)。
- \(j=2\)：\(h_2 = \pi/4\)，新增点 \(x=\pi/4, 3\pi/4\)：
\[ R_{2,0} = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\pi}{4} \left[ \sin(2.5\pi) + \sin(7.5\pi) \right] = 0. \]
继续外推仍得 \(0\)，因采样点恰好位于振荡函数的零点。调整区间为 \([0, 1]\) 可避免对称性导致的巧合。
总结
龙贝格法通过外推显著提升收敛速度，但对高频振荡函数需谨慎选择初始步长，并监控外推稳定性。若振荡主导，可结合周期积分策略或振荡函数专用算法。