主成分分析（PCA）算法的原理与实现步骤

题目描述
主成分分析（PCA）是一种经典的无监督降维算法，其核心目标是通过线性变换将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要特征。PCA通过寻找数据方差最大的方向（主成分）来实现降维，广泛应用于数据压缩、可视化及噪声过滤等领域。

解题过程

1. 数据标准化
   • 对原始数据矩阵 \(X\)（形状 \(n \times d\)，\(n\) 为样本数，\(d\) 为特征数）进行中心化处理：

\[ X_{\text{centered}} = X - \mu \]

 其中 $ \mu $ 是每个特征的均值向量。这一步确保数据的均值为零，避免特征尺度差异对方差计算的影响。

2. 计算协方差矩阵
   • 协方差矩阵 \(\Sigma\) 反映特征间的线性相关性：

\[ \Sigma = \frac{1}{n-1} X_{\text{centered}}^T X_{\text{centered}} \]

 $ \Sigma $ 是一个 $ d \times d $ 的对称矩阵，对角线元素为各特征的方差，非对角线元素为协方差。

3. 特征分解
   • 对协方差矩阵 \(\Sigma\) 进行特征分解：

\[ \Sigma = Q \Lambda Q^T \]

 其中 $ Q $ 是特征向量矩阵（每列是一个特征向量），$ \Lambda $ 是对角矩阵，对角线元素为特征值。特征值大小表示对应主成分的方差贡献度。

4. 选择主成分数量
   • 按特征值从大到小排序，计算累计方差贡献率：

\[ \text{累计方差} = \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i}{\sum_{i=1}^d \lambda_i} \]

 通常选择累计贡献率超过95%的 $ k $ 个主成分（$ k \ll d $），或根据特征值阈值（如保留特征值大于1的主成分）。

5. 投影到低维空间
   • 取前 \(k\) 个特征向量构成投影矩阵 \(W_k\)（形状 \(d \times k\)），将原始数据映射到低维空间：

\[ Z = X_{\text{centered}} W_k \]

 $ Z $ 是降维后的数据（形状 $ n \times k $），保留了原始数据的主要结构。

关键点说明

• 方差最大化原理：PCA的优化目标是找到使投影后数据方差最大的方向，数学上等价于特征分解。
• 特征向量的正交性：不同主成分相互垂直，确保降维后特征间无冗余。
• 应用限制：PCA是线性方法，对非线性结构可能失效，此时需结合核方法（如Kernel PCA）。