分块矩阵的预处理FGMRES算法解多重线性方程组 题目描述 考虑需要同时求解多个具有相同系数矩阵但不同右端项的线性方程组：AX = B，其中A是n×n大型稀疏矩阵（可能非对称），B是n×m矩阵（包含m个右端项），X是待求的n×m解矩阵。当m较大时，直接对每个右端项独立求解效率低下。分块预处理FGMRES算法通过同时处理所有右端项，并引入灵活的预处理技术，显著提高计算效率。 解题过程 1. 问题形式化 将多重线性方程组写作矩阵形式：A[ x₁, x₂, ..., xₘ] = [ b₁, b₂, ..., bₘ ] 核心思想：利用Krylov子空间方法同时处理所有右端项，共享矩阵-向量乘积操作 挑战：不同右端项可能收敛速度不同，需要灵活预处理适应各异的需求 2. 分块Krylov子空间构建 初始残差块：R₀ = B - AX₀（X₀为初始猜测，通常设为零矩阵） 对R₀进行经济型QR分解：R₀ = Q₁S（Q₁为n×m列正交矩阵，S为m×m上三角矩阵） 第k步Krylov子空间：Kₖ(A, R₀) = span{Q₁, AQ₁, A²Q₁, ..., Aᵏ⁻¹Q₁} 关键点：这个子空间同时包含所有右端项的近似解信息 3. 分块Arnoldi过程 初始化：Q₁ = orth(R₀)（通过QR分解正交化初始残差块） 迭代步骤（j=1,2,...,k）： a. 计算矩阵块乘积：W = AQⱼ b. 对W进行正交化（相对于之前所有Qᵢ）： 对于i=1到j：Hᵢⱼ = QᵢᵀW W = W - QᵢHᵢⱼ c. 对W进行QR分解：W = Qⱼ₊₁Hⱼ₊₁ⱼ d. 构建块Hessenberg矩阵Hₖ（分块上三角矩阵） 4. 灵活预处理技术（关键创新） 传统GMRES：使用固定预处理子M⁻¹ FGMRES：允许预处理子随迭代变化，记第j步预处理子为Mⱼ⁻¹ 实际计算：在Arnoldi过程中，用Zⱼ = Mⱼ⁻¹Qⱼ代替Qⱼ 优势：可为不同右端项或不同迭代步选择最适合的预处理策略 5. 最小二乘问题求解 近似解形式：Xₖ = X₀ + ZₖYₖ（其中Zₖ = [ Z₁, Z₂, ..., Zₖ ]） 极小化问题：min ‖B - A(X₀ + ZₖY)‖₂ 等价于：min ‖S - HₖY‖₂（利用Krylov子空间的正交性） 求解：通过QR分解或Givens旋转求解上三角线性系统 6. 收敛性判断与重启策略 残差范数：‖Rₖ‖₂ = ‖B - AXₖ‖₂ 可针对每个右端项单独判断收敛：‖bᵢ - Axᵢ⁽ᵏ⁾‖₂ < ε‖bᵢ‖₂ 重启机制：当k达到最大子空间维度时，用当前Xₖ作为新初始猜测重新开始 7. 算法实现细节 内存优化：只存储Zₖ而非完整的Krylov基 正交化改进：采用迭代修正的Gram-Schmidt或Householder变换 并行化：矩阵块乘法和QR分解均可并行执行 预处理子选择：可根据具体问题采用ILU、多网格或域分解预处理 该算法通过分块处理和灵活预处理的结合，在保证数值稳定性的同时，显著提升了多重线性方程组的求解效率，特别适用于需要反复求解相同系数矩阵问题的应用场景。