序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

字数 1890 2025-11-07 22:14:38

题目描述：
考虑以下非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件：

\(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)（非线性不等式约束）
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)（线性不等式约束）
\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)（边界约束）

解题过程：

问题分析：
- 目标函数 \(f(x)\) 是二次凸函数。
- 约束包括非线性、线性和边界约束，需处理可行域。
- 使用混合算法结合多种技术：序列二次规划（SQP）处理非线性约束，积极集法识别活跃约束，乘子法处理等式约束（本例无等式约束，但算法可扩展），过滤器确保收敛，信赖域控制步长，自适应屏障处理边界，代理模型简化计算，梯度投影处理线性约束，逐步凸逼近线性化非线性部分，增广拉格朗日法强化约束。
算法初始化：
- 初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，计算 \(f(x^{(0)}) = 2.5\)，约束值 \(g_1(x^{(0)}) = -0.25\)（可行），\(g_2(x^{(0)}) = -1\)（可行）。
- 设置参数：信赖域半径 \(\Delta = 0.1\)，屏障参数 \(\mu = 1\)，乘子初始值 \(\lambda = [0, 0]\)。
迭代步骤（第1轮）：
- 构建二次规划子问题：在当前点 \(x^{(0)}\)，线性化约束：
  - \(\nabla g_1(x^{(0)}) = [2x_1, -1] = [1, -1]\)，线性化 \(g_1 \approx -0.25 + [1, -1] \cdot d\)。
  - \(\nabla g_2(x^{(0)}) = [1, 1]\)，线性化 \(g_2 \approx -1 + [1, 1] \cdot d\)。
  - 子问题目标：最小化 \(\nabla f(x^{(0)})^T d + \frac{1}{2} d^T H d\)，其中 \(H\) 是Hessian近似（初始用单位矩阵），\(\nabla f(x^{(0)}) = [-3, -1]\)。
- 积极集法：检查约束，\(g_1\) 和 \(g_2\) 均非活跃，仅边界约束 \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\) 可能活跃，但当前点远离边界，故子问题无积极约束。
- 求解子问题：得搜索方向 \(d = [0.3, 0.1]\)。
- 信赖域检查：步长 \(\|d\| = 0.316 > \Delta\)，需缩放 \(d\) 以满足 \(\|d\| \leq \Delta\)，缩放后 \(d = [0.095, 0.032]\)。
- 过滤器评估：计算候选点 \(x_{\text{cand}} = x^{(0)} + d = (0.595, 0.532)\)，\(f\) 减少至 2.45，约束仍可行，接受该点。
自适应屏障与乘子更新：
- 屏障函数处理边界：添加 \(-\mu \sum \log(x_i)\) 到目标，但当前点远离边界，影响小。
- 乘子法未激活（无等式约束），但算法保留结构以备扩展。
代理模型与逐步凸逼近：
- 使用线性模型近似非线性约束 \(g_1\)，误差通过信赖域控制。
- 每步更新代理模型，确保逼近精度。
收敛检查：
- 计算梯度投影：\(\nabla f(x^{(1)}) = [-2.81, -0.936]\)，约束违反度接近零，但梯度范数未达阈值（如 \(10^{-3}\)），继续迭代。
后续迭代：
- 重复步骤3-6，逐步逼近最优解 \(x^* \approx (1, 1)\)，此时 \(f(x^*) = 1\)，约束 \(g_1(x^*) = 0\)（活跃），\(g_2(x^*) = 0\)（活跃）。
- 算法在约10步后收敛，满足KKT条件。

总结：本混合算法通过组合多种技术，稳健处理非线性约束，兼顾全局收敛和局部效率。关键点在于动态调整策略（如信赖域和过滤器）确保稳定性。

序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题题目描述：考虑以下非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \)（非线性不等式约束） \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \)（线性不等式约束） \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \)（边界约束）解题过程：问题分析：目标函数 \( f(x) \) 是二次凸函数。约束包括非线性、线性和边界约束，需处理可行域。使用混合算法结合多种技术：序列二次规划（SQP）处理非线性约束，积极集法识别活跃约束，乘子法处理等式约束（本例无等式约束，但算法可扩展），过滤器确保收敛，信赖域控制步长，自适应屏障处理边界，代理模型简化计算，梯度投影处理线性约束，逐步凸逼近线性化非线性部分，增广拉格朗日法强化约束。算法初始化：初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，计算 \( f(x^{(0)}) = 2.5 \)，约束值 \( g_ 1(x^{(0)}) = -0.25 \)（可行），\( g_ 2(x^{(0)}) = -1 \)（可行）。设置参数：信赖域半径 \( \Delta = 0.1 \)，屏障参数 \( \mu = 1 \)，乘子初始值 \( \lambda = [ 0, 0 ] \)。迭代步骤（第1轮）：构建二次规划子问题：在当前点 \( x^{(0)} \)，线性化约束： \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = [ 2x_ 1, -1] = [ 1, -1] \)，线性化 \( g_ 1 \approx -0.25 + [ 1, -1 ] \cdot d \)。 \( \nabla g_ 2(x^{(0)}) = [ 1, 1] \)，线性化 \( g_ 2 \approx -1 + [ 1, 1 ] \cdot d \)。子问题目标：最小化 \( \nabla f(x^{(0)})^T d + \frac{1}{2} d^T H d \)，其中 \( H \) 是Hessian近似（初始用单位矩阵），\( \nabla f(x^{(0)}) = [ -3, -1 ] \)。积极集法：检查约束，\( g_ 1 \) 和 \( g_ 2 \) 均非活跃，仅边界约束 \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 可能活跃，但当前点远离边界，故子问题无积极约束。求解子问题：得搜索方向 \( d = [ 0.3, 0.1 ] \)。信赖域检查：步长 \( \|d\| = 0.316 > \Delta \)，需缩放 \( d \) 以满足 \( \|d\| \leq \Delta \)，缩放后 \( d = [ 0.095, 0.032 ] \)。过滤器评估：计算候选点 \( x_ {\text{cand}} = x^{(0)} + d = (0.595, 0.532) \)，\( f \) 减少至 2.45，约束仍可行，接受该点。自适应屏障与乘子更新：屏障函数处理边界：添加 \( -\mu \sum \log(x_ i) \) 到目标，但当前点远离边界，影响小。乘子法未激活（无等式约束），但算法保留结构以备扩展。代理模型与逐步凸逼近：使用线性模型近似非线性约束 \( g_ 1 \)，误差通过信赖域控制。每步更新代理模型，确保逼近精度。收敛检查：计算梯度投影：\( \nabla f(x^{(1)}) = [ -2.81, -0.936 ] \)，约束违反度接近零，但梯度范数未达阈值（如 \( 10^{-3} \)），继续迭代。后续迭代：重复步骤3-6，逐步逼近最优解 \( x^* \approx (1, 1) \)，此时 \( f(x^ ) = 1 \)，约束 \( g_ 1(x^ ) = 0 \)（活跃），\( g_ 2(x^* ) = 0 \)（活跃）。算法在约10步后收敛，满足KKT条件。总结：本混合算法通过组合多种技术，稳健处理非线性约束，兼顾全局收敛和局部效率。关键点在于动态调整策略（如信赖域和过滤器）确保稳定性。