分块矩阵的Gauss-Seidel迭代法解线性方程组 我将为您详细讲解分块矩阵的Gauss-Seidel迭代法，这是一种用于求解大型稀疏线性方程组的高效数值算法。 问题描述 考虑线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 矩阵，x 和 b 是 n 维向量。当矩阵 A 的规模很大但具有分块结构时，我们可以将 A 划分为若干个子矩阵块： A = [ A₁₁ A₁₂ ... A₁ₘ ] [ A₂₁ A₂₂ ... A₂ₘ ] [ ... ... ... ... ] [ Aₘ₁ Aₘ₂ ... Aₘₘ ] 其中每个 Aᵢⱼ 是 nᵢ×nⱼ 的子矩阵，且 Σnᵢ = n。相应的，向量 x 和 b 也被划分为子向量块：x = [ x₁, x₂, ..., xₘ]ᵀ，b = [ b₁, b₂, ..., bₘ ]ᵀ。 我们的目标是求解这个分块线性方程组。 算法原理 分块Gauss-Seidel迭代法是标准Gauss-Seidel方法的推广，它按块而不是按单个元素进行迭代。基本思想是：在每一步迭代中，利用最新更新的块信息来求解当前块。 算法推导过程 矩阵分裂 将矩阵 A 分解为：A = D - L - U D：分块对角矩阵 diag(A₁₁, A₂₂, ..., Aₘₘ) L：分块严格下三角矩阵 U：分块严格上三角矩阵 迭代格式推导 原方程 Ax = b 可写为：(D - L - U)x = b 整理得：Dx = b + Lx + Ux 由此得到迭代格式：Dx⁽ᵏ⁺¹⁾ = b + Lx⁽ᵏ⁺¹⁾ + Ux⁽ᵏ⁾ 即：(D - L)x⁽ᵏ⁺¹⁾ = b + Ux⁽ᵏ⁾ 分量形式 对于第 i 个块 (i = 1, 2, ..., m)，迭代公式为： Aᵢᵢxᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = bᵢ - Σⱼ=1ⁱ⁻¹ Aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ - Σⱼ=ⁱ⁺¹ᵐ Aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾ 算法步骤 初始化 选择初始猜测 x⁽⁰⁾ = [ x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., xₘ⁽⁰⁾ ]ᵀ 设置收敛容差 ε 和最大迭代次数 K 迭代过程 （对于 k = 0, 1, 2, ..., 直到收敛） 对于每个块 i = 1 到 m： 计算右端项：rᵢ = bᵢ - Σⱼ=1ⁱ⁻¹ Aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ - Σⱼ=ⁱ⁺¹ᵐ Aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾ 求解子方程组：Aᵢᵢxᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = rᵢ 收敛性检查 计算残差范数：‖r⁽ᵏ⁺¹⁾‖ = ‖b - Ax⁽ᵏ⁺¹⁾‖ 如果 ‖r⁽ᵏ⁺¹⁾‖ < ε 或达到最大迭代次数，则停止 关键细节说明 子方程组求解 每个迭代步中需要求解 Aᵢᵢxᵢ = rᵢ。由于 Aᵢᵢ 的规模远小于原矩阵 A，可以使用直接法（如LU分解）或迭代法高效求解。 计算顺序的重要性 分块Gauss-Seidel是顺序算法，必须按 i = 1, 2, ..., m 的顺序计算，因为计算 xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ 时需要用到前面已更新的 x₁⁽ᵏ⁺¹⁾, ..., xᵢ₋₁⁽ᵏ⁺¹⁾。 收敛条件 算法收敛的充分条件是矩阵 A 是分块严格对角占优的或分块不可约对角占优的。 数值示例 考虑 4×4 矩阵划分为 2×2 分块： A = [ [ 4, 1, 0, 0], b = [ 1, 2, 3, 4 ]ᵀ [ 1, 4, 1, 0 ], [ 0, 1, 4, 1 ], [ 0, 0, 1, 4] ] 分块为： A₁₁ = [ [ 4,1],[ 1,4]], A₁₂ = [ [ 0,0],[ 1,0] ] A₂₁ = [ [ 0,1],[ 0,0]], A₂₂ = [ [ 4,1],[ 1,4] ] 迭代格式： A₁₁x₁⁽ᵏ⁺¹⁾ = b₁ - A₁₂x₂⁽ᵏ⁾ A₂₂x₂⁽ᵏ⁺¹⁾ = b₂ - A₂₁x₁⁽ᵏ⁺¹⁾ 算法优势 比逐点Gauss-Seidel收敛更快 适合并行计算（块内可并行） 对缓存访问更友好 特别适合分块稀疏矩阵 这种方法是处理大型稀疏线性方程组的有效工具，在计算流体力学、结构分析等领域有广泛应用。