深度学习中优化器的SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节

题目描述
在深度学习中，当模型训练需要满足参数空间的特定约束时（如权重非负、范数有界等），标准SGD无法保证更新后的参数仍满足约束。SGD with Projected Gradient（投影梯度下降）通过将梯度下降结果投影回可行域，确保参数始终满足约束。本题目将详细讲解其数学原理、投影操作实现及典型应用场景。

解题过程

1. 问题定义与约束类型

   • 设参数向量需满足约束条件：\(\theta \in C\)，其中 \(C\) 为可行域（如 \(\theta \geq 0\) 或 \(\|\theta\| \leq r\)）。
   • 目标函数为 \(L(\theta)\)，标准SGD更新为 \(\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t)\)，但 \(\theta_{t+1}\) 可能超出 \(C\)。

2. 投影梯度下降的核心思想

   • 在SGD更新后增加投影步骤：

\[ \theta_{t+1} = \text{Proj}_C \left( \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) \right) \]

 其中 $ \text{Proj}_C(z) = \arg\min_{x \in C} \|x - z\|^2 $ 是 $ z $ 到集合 $ C $ 的欧几里得投影。

3. 常见约束的投影操作实现
   • 非负约束（\( \theta \geq 0 \））：对每个维度独立裁剪至非负：

\[ \text{Proj}_{\geq 0}(z)_i = \max(z_i, 0) \]

• **球约束（\(\|\theta\| \leq r \））**：若 \( \|z\| > r\)，将向量缩放至范数为 \(r\)：

\[ \text{Proj}_{\|\cdot\| \leq r}(z) = \begin{cases} z & \text{if } \|z\| \leq r \\ r \cdot \frac{z}{\|z\|} & \text{otherwise} \end{cases} \]

• 区间约束（\( a \leq \theta \leq b \））：逐维度裁剪到区间内：

\[ \text{Proj}_{[a,b]}(z)_i = \min(\max(z_i, a), b) \]

4. 算法流程与伪代码

   输入：学习率 η，约束集 C，初始参数 θ₀
   for t = 0 to T-1 do
       计算梯度 g_t = ∇L(θ_t)
       执行梯度下降：θ_temp = θ_t - η * g_t
       投影到可行域：θ_{t+1} = Proj_C(θ_temp)
   end for
   

5. 数学性质与收敛性

   • 投影操作是非扩张的：\(\|\text{Proj}_C(x) - \text{Proj}_C(y)\| \leq \|x - y\|\)。
   • 在凸约束集和凸损失函数下，算法收敛到全局最优解；非凸情况下仍能保证可行性。

6. 实际应用场景

   • 非负矩阵分解：权重需非负以保持物理可解释性。
   • 对抗训练：参数范数约束提升模型鲁棒性。
   • 稀疏建模：通过 \(\ell_1\)-球约束诱导稀疏性。

7. 与普通SGD的对比

   • 优点：严格满足约束，避免无效参数更新。
   • 缺点：投影计算可能增加开销（如高维球约束需计算范数）。

总结
投影梯度下降通过将梯度更新结果映射回可行域，将约束优化问题转化为无约束优化迭代过程，是处理复杂约束的有效工具。其实现关键取决于投影操作的高效计算，需根据约束类型选择合适方法。