奇怪的打印机的最小打印次数问题（字符替换成本版本）

我将为您讲解一个区间动态规划问题：奇怪的打印机的最小打印次数问题（字符替换成本版本）。这个问题的描述如下：

给定一个字符串s，表示需要打印的字符串。打印机有一个特殊的规则：每次操作可以选择在任意位置开始打印任意字符，覆盖原有字符（如果存在）。但每次改变字符（即打印与当前位置原有字符不同的字符）需要额外成本。目标是求出打印出目标字符串所需的最小总成本。

问题分析

1. 打印机每次操作可以打印一段连续相同的字符
2. 如果新打印的字符与当前位置原有字符不同，需要支付替换成本
3. 我们需要找到打印整个字符串的最小总成本

解题思路
使用区间动态规划，定义dp[i][j]表示打印子串s[i...j]所需的最小成本。

状态转移方程推导

1. 基础情况：当i = j时，dp[i][j] = 1（只需要一次打印操作）
2. 对于一般情况s[i...j]：
   • 我们可以先打印s[i]，然后打印s[i+1...j]，成本为dp[i+1][j] + cost(s[i]是否变化)
   • 或者我们可以找到k ∈ [i+1, j]，如果s[i] = s[k]，那么我们可以：
     • 先打印s[i...k]为相同字符s[i]
     • 然后打印s[i+1...k-1]和s[k+1...j]
     • 这样可以利用s[i] = s[k]的特性减少成本

详细的状态转移方程

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j] + cost(i))
对于k从i+1到j：
   如果s[i] == s[k]:
       dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k][j])

具体实现步骤

1. 初始化dp数组，大小为n×n，n为字符串长度
2. 初始化对角线：dp[i][i] = 1
3. 按区间长度从小到大计算
4. 对于每个区间[i,j]，遍历所有可能的分割点k

示例分析
以字符串"aba"为例：

• dp[0][0] = 1, dp[1][1] = 1, dp[2][2] = 1
• 区间[0,1]："ab"
  • 直接打印：dp[1][1] + cost = 1 + 1 = 2
  • 最小成本为2
• 区间[1,2]："ba"
  • 直接打印：dp[2][2] + cost = 1 + 1 = 2
  • 最小成本为2
• 区间[0,2]："aba"
  • 直接打印：dp[1][2] + cost = 2 + 1 = 3
  • 利用s[0] = s[2]：dp[1][1] + dp[2][2] = 1 + 1 = 2
  • 最小成本为2

算法复杂度

• 时间复杂度：O(n³)
• 空间复杂度：O(n²)

这个解法通过区间动态规划巧妙地利用了字符相同的特性来优化打印成本，是区间DP的经典应用。