最长公共子序列的变种：带字符权重的最长公共子序列（进阶版：允许负权重且要求子序列权重和非负，同时限制某些字符必须连续出现） 我将为你详细讲解这个线性动态规划问题。题目描述如下：给定两个字符串s和t，每个字符都有一个权重（可能为负），要求找到s和t的一个公共子序列，使得该子序列的权重和最大（非负），并且满足某些特定字符在子序列中必须连续出现（即如果某个特定字符出现在子序列中，那么它在原字符串中连续出现的部分必须全部包含在子序列中）。 问题分析 这是一个带有多重限制条件的最长公共子序列变种问题。我们需要在标准LCS的基础上考虑字符权重、权重和非负的要求，以及特定字符的连续性限制。 关键点分析 字符权重：每个字符对总权重有正或负的贡献 权重和非负：最终子序列的总权重必须≥0 连续性限制：某些字符如果出现在子序列中，必须连续出现 公共子序列：必须同时是s和t的子序列 动态规划解法 步骤1：定义状态 我们定义dp[ i][ j][ k ]表示考虑s的前i个字符和t的前j个字符，当前子序列的权重和为k时的最长公共子序列长度。 由于权重可能为负，我们需要对权重进行偏移处理。设W为所有权重绝对值的和，则k的范围是[ 0, 2W ]。 步骤2：连续性限制处理 对于必须连续出现的字符，我们需要特殊处理。定义连续字符集合C，对于每个c∈C： 如果决定包含c，必须包含c在当前匹配位置的所有连续出现 步骤3：状态转移方程 基础情况： dp[ 0][ j][ 0 ] = 0（空子序列） dp[ i][ 0][ 0 ] = 0（空子序列） 一般情况（i>0, j>0）： 不包含当前字符： dp[ i][ j][ k] = max(dp[ i][ j][ k], dp[ i-1][ j][ k], dp[ i][ j-1][ k ]) 当s[ i] = t[ j ]时： 如果s[ i ]是必须连续出现的字符： 找到s中从i开始向前的连续s[ i ]字符段 找到t中从j开始向前的连续s[ i ]字符段 设连续段长度分别为L_ s和L_ t，取最小值L = min(L_ s, L_ t) 计算连续段的权重和w_ cont 对于所有可能的k'，如果k' + w_ cont ≥ 0： dp[ i][ j][ k' + w_ cont] = max(dp[ i][ j][ k' + w_ cont], dp[ i-L][ j-L][ k' ] + L) 如果s[ i ]不是必须连续出现的字符： w = weight[ s[ i] ] 对于所有可能的k'，如果k' + w ≥ 0： dp[ i][ j][ k' + w] = max(dp[ i][ j][ k' + w], dp[ i-1][ j-1][ k' ] + 1) 步骤4：边界情况处理 需要确保索引不越界 权重和始终保持在有效范围内[ 0, 2W ] 步骤5：结果提取 最终结果是所有dp[ n][ m][ k ]中的最大值，其中n和m分别是s和t的长度，k≥0。 优化技巧 使用滚动数组优化空间复杂度 只记录可能达到的权重状态 预处理连续段信息 这个算法的时间复杂度是O(n×m×W)，空间复杂度可以通过优化降到O(m×W)。通过这种细致的状态设计，我们能够同时处理权重约束和连续性限制，找到满足所有条件的最优解。