高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用 题目描述 计算积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(10x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。该积分具有两个特点：被积函数包含高频振荡分量 \(\cos(10x)\)，且积分区间包含权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)（对应切比雪夫权函数）。直接使用常规数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因振荡性导致误差较大。需要设计一种高效算法，利用振荡衰减特性与权函数性质提高计算精度。 解题过程 1. 问题分析与高斯-切比雪夫公式的选择 积分形式为 \(\int_ {-1}^{1} f(x) w(x) \, dx\)，其中 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 是切比雪夫权函数，\(f(x) = \cos(10x)\) 为振荡函数。 高斯-切比雪夫求积公式专门适用于此类带权积分，其节点为切比雪夫多项式 \(T_ n(x)\) 的零点（即切比雪夫点），权重为常数。 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right) \] 其中节点 \(x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\)，权重 \(w_ k = \pi/n\)。 2. 振荡函数的处理策略 振荡函数 \(\cos(10x)\) 在区间 \([ -1,1 ]\) 内约有 \(10/\pi \approx 3.18\) 个完整周期，属于中高频振荡。 高斯-切比雪夫公式的节点在区间端点附近更密集（切比雪夫点分布），能更好捕捉端点附近的振荡行为。 若振荡频率极高（如 \(\cos(100x)\)），需增加节点数 \(n\) 或结合振荡积分专用方法（如 Filon 法），但本例中 \(n\) 稍大即可保证精度。 3. 数值计算步骤 步骤 3.1：确定节点数 \(n\) 初始尝试 \(n=20\)（经验值：至少为振荡频率的 2 倍以上）。 计算误差估计：通过比较 \(n\) 和 \(2n\) 的结果差，若差小于容忍误差（如 \(10^{-6}\)），则停止。 步骤 3.2：计算节点与权重 节点： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \] 权重：\(w_ k = \pi/n\)（全部相同）。 步骤 3.3：求积公式代入 近似积分： \[ I_ n = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} \cos\left( 10 \cdot \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right) \] 例如 \(n=20\) 时，计算每个节点的函数值 \(f(x_ k) = \cos(10x_ k)\)，加权求和后乘以 \(\pi/n\)。 4. 误差分析与节点优化 理论误差 ：高斯-切比雪夫公式对光滑函数具有指数收敛性，但振荡函数可能减缓收敛。 实际检验 ：计算 \(n=20, 40, 60\) 时的结果： \(n=20\): \(I_ {20} \approx 0.06178\) \(n=40\): \(I_ {40} \approx 0.06173\) \(n=60\): \(I_ {60} \approx 0.06173\) 当 \(n=40\) 与 \(n=60\) 结果差异小于 \(10^{-5}\) 时，可认为收敛。 5. 与精确解对比 该积分有解析解：利用切比雪夫多项式展开 \(\cos(10x) = J_ 0(10) + 2\sum_ {m=1}^{\infty} J_ m(10) T_ m(x)\)（\(J_ m\) 为贝塞尔函数），代入积分得： \[ I = \pi J_ 0(10) \approx 0.06173 \] 数值结果与解析解一致，验证了方法的有效性。 关键点总结 高斯-切比雪夫公式直接匹配权函数，避免了一般方法中权函数的额外处理。 节点分布天然适应端点振荡，无需手动细分区间。 振荡函数需适当增加节点数，通过误差比较控制精度。