基于线性规划的图最小支配集问题求解示例

我将为您详细讲解如何使用线性规划求解图的最小支配集问题。这个问题在图论和组合优化中具有重要应用。

问题描述
最小支配集问题是指：给定一个无向图G=(V,E)，我们需要找到一个最小的顶点子集D⊆V，使得图中每个顶点要么在D中，要么至少与D中的一个顶点相邻。换句话说，D中的顶点"支配"了图中的所有顶点。

数学模型建立

1. 决策变量：对于每个顶点i∈V，定义二进制变量x_i

   • x_i = 1 表示顶点i被选入支配集
   • x_i = 0 表示顶点i未被选入支配集

2. 目标函数：最小化支配集的大小
   min ∑(i∈V) x_i

3. 约束条件：每个顶点必须被支配
   对于每个顶点j∈V，必须满足：x_j + ∑(i∈N(j)) x_i ≥ 1
   其中N(j)表示顶点j的邻居集合

具体实例
考虑一个简单的图：顶点集V={1,2,3,4}，边集E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}，形成一个4个顶点的环。

线性规划建模

1. 决策变量：x₁, x₂, x₃, x₄ ∈ {0,1}

2. 目标函数：min x₁ + x₂ + x₃ + x₄

3. 约束条件：

   • 顶点1：x₁ + x₂ + x₄ ≥ 1
   • 顶点2：x₂ + x₁ + x₃ ≥ 1
   • 顶点3：x₃ + x₂ + x₄ ≥ 1
   • 顶点4：x₄ + x₁ + x₃ ≥ 1

线性松弛
由于这是整数规划问题，我们先进行线性松弛，将x_i ∈ {0,1}松弛为0 ≤ x_i ≤ 1。

求解过程

1. 观察对称性：由于图是对称的，最优解应该具有对称性

2. 尝试对称解：设x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = t

3. 约束条件变为：t + 2t ≥ 1 ⇒ 3t ≥ 1 ⇒ t ≥ 1/3

4. 目标函数：4t，在t=1/3时取得最小值4/3

5. 由于需要整数解，我们向上取整，得到最小支配集大小为2

验证可行解
尝试解：x₁=1, x₂=0, x₃=1, x₄=0

• 顶点1：被自身支配 ✓
• 顶点2：被顶点1支配 ✓
• 顶点3：被自身支配 ✓
• 顶点4：被顶点3支配 ✓
  目标函数值为2，这是最优解。

算法扩展
对于大规模问题，可以采用：

1. 分支定界法：系统搜索整数解空间
2. 近似算法：设计性能有保证的启发式算法
3. 半定规划松弛：提供更紧的下界

复杂度分析
最小支配集问题是NP难问题，但对于某些特殊图类（如树、二分图等）存在多项式时间算法。线性规划方法为求解该问题提供了有效的框架。