线性判别分析（LDA）算法的原理与降维分类过程

题目描述
线性判别分析（LDA）是一种监督学习的降维技术，同时用于分类和特征提取。其核心思想是：将高维数据投影到低维空间，使得同类样本的投影点尽可能接近，不同类样本的投影点尽可能远离，从而最大化类间距离与类内距离的比值。假设有数据集包含\(C\)个类别，LDA的目标是找到一个投影方向（或投影矩阵），使得投影后的数据能最好地分离不同类别。

解题过程

1. 问题定义与假设
设数据集有\(N\)个样本，每个样本为\(d\)维向量，属于\(C\)个类别之一。第\(i\)类的样本数为\(N_i\)，样本均值为\(\boldsymbol{\mu}_i\)，总体均值为\(\boldsymbol{\mu}\)。LDA的假设是：每个类别的数据服从高斯分布，且所有类别的协方差矩阵相同。

2. 关键概念：类内散度矩阵与类间散度矩阵

• 类内散度矩阵（Within-class scatter matrix） \(S_W\)：衡量同类样本的分散程度。

\[ S_W = \sum_{i=1}^{C} \sum_{\boldsymbol{x} \in \text{Class } i} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_i)(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_i)^T \]

• 类间散度矩阵（Between-class scatter matrix） \(S_B\)：衡量不同类样本的均值之间的分散程度。

\[ S_B = \sum_{i=1}^{C} N_i (\boldsymbol{\mu}_i - \boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{\mu}_i - \boldsymbol{\mu})^T \]

3. 优化目标
对于投影方向\(\boldsymbol{w}\)（单位向量），投影后的数据为\(z = \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}\)。投影后的类间距离与类内距离的比值（广义瑞利商）为：

\[J(\boldsymbol{w}) = \frac{\boldsymbol{w}^T S_B \boldsymbol{w}}{\boldsymbol{w}^T S_W \boldsymbol{w}} \]

目标是通过选择\(\boldsymbol{w}\)最大化\(J(\boldsymbol{w})\)。

4. 求解投影方向
最大化\(J(\boldsymbol{w})\)等价于求解广义特征值问题：

\[S_B \boldsymbol{w} = \lambda S_W \boldsymbol{w} \]

• 若\(S_W\)可逆，最优\(\boldsymbol{w}\)是\(S_W^{-1} S_B\)的最大特征值对应的特征向量。
• 对于\(C\)类问题，LDA可提取最多\(C-1\)个投影方向（即降维后的维度上限为\(C-1\)），这些方向对应\(S_W^{-1} S_B\)的前\(C-1\)个最大特征值的特征向量。

5. 降维与分类

• 降维：将原始数据\(\boldsymbol{x}\)投影到选定的方向（或投影矩阵\(\boldsymbol{W}\)）上，得到低维表示\(\boldsymbol{z} = \boldsymbol{W}^T \boldsymbol{x}\)。
• 分类：在低维空间中，使用简单分类器（如最近质心分类器）根据投影后的样本与各类别均值的距离进行分类。

6. 算法步骤总结

1. 计算每个类别的均值\(\boldsymbol{\mu}_i\)和总体均值\(\boldsymbol{\mu}\)。
2. 计算\(S_W\)和\(S_B\)。
3. 求解\(S_W^{-1} S_B\)的特征值和特征向量。
4. 按特征值降序排列特征向量，取前\(C-1\)个构成投影矩阵\(\boldsymbol{W}\)。
5. 将数据投影到低维空间，实现降维或分类。

关键点说明

• LDA与PCA的区别：PCA是无监督方法，仅最大化方差；LDA利用类别标签，强调类间分离。
• 局限性：LDA假设各类服从相同协方差矩阵的高斯分布，若实际数据偏离此假设，效果可能下降。