基于线性规划的图最大团问题求解示例 我将为您讲解如何使用线性规划方法求解图论中的最大团问题。最大团问题是在给定的无向图中寻找最大的完全子图（即团），其中团是指图中任意两个顶点都相邻的顶点子集。 问题描述 考虑一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}为顶点集，E为边集：{(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(3,5),(4,5)}。我们需要找到该图中包含顶点数最多的团。 问题建模 定义决策变量：对每个顶点i∈V，设x_ i∈{0,1}，x_ i=1表示顶点i被选入团中，否则为0。 目标函数：最大化团中顶点数量，即max ∑_ {i∈V} x_ i。 约束条件：对于任意两个不相邻的顶点对(i,j)（即(i,j)∉E），它们不能同时被选入团中。这可以表示为x_ i + x_ j ≤ 1。 线性规划松弛 将整数约束x_ i∈{0,1}松弛为连续约束0≤x_ i≤1，得到线性规划问题： max ∑_ {i∈V} x_ i s.t. x_ i + x_ j ≤ 1, ∀(i,j)∉E 0≤x_ i≤1, ∀i∈V 求解过程 首先列出所有不相邻顶点对：图中缺失的边为(1,4),(1,5),(2,5) 建立完整模型： max x1+x2+x3+x4+x5 s.t. x1+x4 ≤ 1 //顶点1和4不相邻 x1+x5 ≤ 1 //顶点1和5不相邻 x2+x5 ≤ 1 //顶点2和5不相邻 0≤x_ i≤1, i=1,...,5 观察图结构：顶点集{2,3,4}形成一个三角形（团），而顶点1与{2,3}相邻但不与4相邻，顶点5与{3,4}相邻但不与2相邻。 求解线性规划松弛：通过单纯形法或观察法，发现最优解为x2=x3=x4=1，x1=x5=0，目标函数值为3。这对应团{2,3,4}。 整数性检验：得到的解恰好是整数解，因此它就是原整数规划的最优解。 结果验证 团{2,3,4}中任意两个顶点都相邻：(2,3)∈E，(2,4)∈E，(3,4)∈E。图中不存在更大的团，因为包含4个顶点的子集（如{1,2,3,4}）中，顶点1和4不相邻；{2,3,4,5}中，顶点2和5不相邻。 算法扩展 对于更复杂的图，线性规划松弛可能产生分数解，这时需要结合分支定界法：当得到分数解时，选择某个分数变量x_ i，分别添加x_ i=0和x_ i=1的约束分支求解，直到找到整数最优解。 这种方法将组合优化问题转化为线性规划问题，利用线性规划的高效算法求解，为最大团问题提供了有效的解决方案框架。