高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的应用 题目描述 计算积分 \( I = \int_ {-1}^{1} e^{-x^2} \cdot \frac{1}{1 + e^{100(x-0.5)}} \, dx \)。被积函数在 \( x = 0.5 \) 附近存在一个陡峭的边界层（导数极大），直接使用高斯-埃尔米特求积公式会因节点分布不匹配边界层特征而导致精度不足。要求通过变量替换技巧，使修正后的积分形式能利用高斯-埃尔米特公式的优势。 解题步骤 问题分析 被积函数包含两部分：\( e^{-x^2} \) 是高斯-埃尔米特公式的权函数，但区间为有限区间 \([ -1, 1 ]\)，而非公式要求的 \((-\infty, \infty)\)。 因子 \( \frac{1}{1 + e^{100(x-0.5)}} \) 在 \( x=0.5 \) 处产生边界层（类似Sigmoid函数，在极小区间内从0急剧跃迁到1）。 直接截断无穷区间为 \([ -1, 1 ]\) 会引入误差，且标准高斯-埃尔米特节点在边界层附近可能不足。 变量替换策略 目标：将积分区间扩展到 \((-\infty, \infty)\)，同时将边界层特征“平滑化”。 令 \( t = \tan\left(\frac{\pi}{2} x\right) \)，则 \( x = \frac{2}{\pi} \arctan(t) \)，积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-[ 2\arctan(t)/\pi ]^2} \cdot \frac{1}{1 + e^{100(2\arctan(t)/\pi - 0.5)}} \cdot \frac{2}{\pi(1+t^2)} \, dt. \] 此时积分区间已扩展为无穷区间，但被积函数中新增的 \( \frac{1}{1+t^2} \) 可能引入振荡。需进一步处理边界层。 边界层局部加密技巧 在 \( x=0.5 \) 附近引入局部缩放：令 \( u = 100(x - 0.5) \)，则 \( x = 0.5 + u/100 \)，\( dx = du/100 \)。 将积分拆分为三部分： \[ I = \int_ {-1}^{0.4} f(x) \, dx + \int_ {0.4}^{0.6} f(x) \, dx + \int_ {0.6}^{1} f(x) \, dx. \] 对中间部分 \( \int_ {0.4}^{0.6} f(x) \, dx \) 应用变量替换 \( u = 100(x-0.5) \)，得到： \[ \int_ {-10}^{10} e^{-(0.5 + u/100)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^{u}} \cdot \frac{1}{100} \, du. \] 此部分在 \( u \in [ -10, 10 ] \) 上边界层被拉伸，可用高斯-勒让德公式（有限区间）精确计算。左右两部分的积分仍用高斯-埃尔米特公式处理（需先通过 \( t = \tan(\frac{\pi}{2} x) \) 映射到无穷区间）。 组合积分与误差控制 对左右两部分积分，先映射到 \((-\infty, \infty)\)，再应用高斯-埃尔米特公式： 例如，左部分 \( \int_ {-1}^{0.4} f(x) \, dx \) 通过 \( t = \tan(\frac{\pi}{2} x) \) 映射后，用权重节点 \( (w_ i, t_ i) \) 计算： \[ \sum w_ i e^{-[ 2\arctan(t_ i)/\pi]^2} \cdot \frac{1}{1 + e^{100(2\arctan(t_ i)/\pi - 0.5)}} \cdot \frac{2}{\pi(1+t_ i^2)}. \] 总积分 \( I = I_ {\text{左}} + I_ {\text{中}} + I_ {\text{右}} \)。 误差主要来源于边界层区域的离散化程度：中间部分需确保节点数足够描述跃迁（如用20-30点高斯-勒让德公式），而无穷区间部分需验证截断误差（如检查 \( |t| > 10^3 \) 时的被积函数衰减）。 数值验证 通过增加节点数验证收敛性：若左右部分用15点高斯-埃尔米特公式，中间部分用30点高斯-勒让德公式，结果相对误差应小于 \( 10^{-6} \)。 对比自适应辛普森法等通用算法，本方法在边界层区域效率更高，因节点分布针对性优化。 关键点 通过变量替换将有限区间映射到无穷区间，以匹配高斯-埃尔米特公式的适用条件。 对边界层区域单独处理，通过缩放变换增强局部分辨率。 组合不同求积公式时，需确保各部分误差平衡。