切棍子的最小成本问题（进阶版） 题目描述 给定一根长度为n的棍子，以及一个包含m个不同位置的切割点数组cuts[]，其中cuts[ i]表示在第cuts[ i ]位置需要切割。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。要求按照某种顺序切割所有指定的点，使得总成本最小。返回最小的总切割成本。 例如：n = 7, cuts = [ 1,3,4,5 ] 初始棍子长度区间为[ 0,7 ]，我们需要在位置1,3,4,5处进行切割。 解题思路 这是一个典型的区间动态规划问题。我们可以将切割点排序，并在首尾添加0和n，形成一个扩展的切割点数组。然后定义dp[ i][ j ]表示在扩展切割点数组中从第i个点到第j个点这个区间内（即原始棍子的一段）切割所有内部切割点所需的最小成本。 详细步骤 预处理切割点 首先对给定的cuts数组排序，然后创建一个新的数组extendedCuts，包含0、排序后的cuts、以及n。 例如：n=7, cuts=[ 1,3,4,5] → 排序后还是[ 1,3,4,5]，扩展后为[ 0,1,3,4,5,7 ] 定义DP状态 设dp[ i][ j ]表示在扩展切割点数组中，从第i个切割点到第j个切割点这段区间内，切割所有内部切割点（即不包括端点i和j）的最小成本。 这里i和j是扩展切割点数组中的索引。 状态转移方程 对于区间[ i,j]，如果我们选择其中一个内部切割点k进行第一次切割（i < k < j），那么： 切割成本 = extendedCuts[ j] - extendedCuts[ i ] （当前这段棍子的长度） 然后问题分解为两个子问题：切割区间[ i,k]和[ k,j ]内的点 总成本 = 当前切割成本 + dp[ i][ k] + dp[ k][ k ] 因此状态转移方程为： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j]) + (extendedCuts[ j] - extendedCuts[ i ]) 其中k遍历区间(i,j)内的所有切割点。 初始化 当区间内没有切割点（即j = i+1）时，dp[ i][ j ] = 0 其他情况初始化为一个较大值 计算顺序 按照区间长度从小到大进行计算。先计算长度小的区间，再计算长度大的区间。 最终结果 dp[ 0][ m+1 ]就是最终的最小成本，其中m是原始cuts数组的长度。 示例演算 n=7, cuts=[ 1,3,4,5 ] 扩展切割点数组：[ 0,1,3,4,5,7 ] 计算过程： 初始化所有长度为2的区间（即相邻点）：dp[ 0][ 1]=0, dp[ 1][ 2]=0, dp[ 2][ 3]=0, dp[ 3][ 4]=0, dp[ 4][ 5 ]=0 计算长度为3的区间： [ 0,1,3 ]：只能在位置1切割，成本=3-0=3 [ 1,3,4 ]：只能在位置3切割，成本=4-1=3 [ 3,4,5 ]：只能在位置4切割，成本=5-3=2 [ 4,5,7 ]：只能在位置5切割，成本=7-4=3 计算长度为4的区间： [ 0,1,3,4 ]：有两种选择： 先切1：成本=(4-0) + dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 4 ] = 4 + 0 + 3 = 7 先切3：成本=(4-0) + dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 4 ] = 4 + 3 + 0 = 7 最小成本为7 [ 1,3,4,5 ]：有两种选择： 先切3：成本=(5-1) + dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 4 ] = 4 + 0 + 2 = 6 先切4：成本=(5-1) + dp[ 1][ 3] + dp[ 3][ 4 ] = 4 + 3 + 0 = 7 最小成本为6 最终计算整个区间[ 0,1,3,4,5,7 ]： 有多种切割顺序，通过比较所有可能的第一次切割点，得到最小成本为16。 这个问题的关键在于理解切割顺序对总成本的影响，以及如何通过动态规划将大问题分解为子问题来解决。