分块矩阵的广义极小残差法（GMRES）算法解多重线性方程组
题目描述
考虑多重线性方程组问题：给定一个大规模稀疏矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 和一组右端项 \(B = [b_1, b_2, \dots, b_p] \in \mathbb{R}^{n \times p}\)，求解 \(X = [x_1, x_2, \dots, x_p] \in \mathbb{R}^{n \times p}\) 使得 \(AX = B\)。若直接对每个右端项独立调用GMRES算法，需重复构建Krylov子空间，计算成本高。分块GMRES算法通过同时处理所有右端项，共享一个Krylov子空间，减少迭代次数和计算开销。本题目要求解释该算法的数学原理、步骤和优势。
解题过程
-
问题分析
- 多重线性方程组的独立求解会重复计算相似的Krylov子空间（尤其当右端项相关时），浪费计算资源。
- 分块GMRES的核心思想：对右端项矩阵 \(B\) 的列空间进行整体正交化，构建一个块Krylov子空间 \(\mathcal{K}_m(A, B) = \operatorname{span}\{B, AB, A^2B, \dots, A^{m-1}B\}\)，并在此子空间中寻找近似解。
-
算法准备：块Arnoldi过程
- 对 \(B\) 进行QR分解：\(B = V_1 R\)，其中 \(V_1 \in \mathbb{R}^{n \times p}\) 的列正交（\(V_1^\top V_1 = I_p\)），\(R \in \mathbb{R}^{p \times p}\) 是上三角矩阵。
- 迭代构建正交基 \(V_1, V_2, \dots, V_m\)（每个 \(V_i \in \mathbb{R}^{n \times p}\)），使得整个子空间的正交基为 \(\mathcal{V}_m = [V_1, V_2, \dots, V_m] \in \mathbb{R}^{n \times mp}\)。
- 块Arnoldi递推关系：
\[ A V_j = \sum_{i=1}^{j+1} V_i H_{ij}, \quad H_{ij} \in \mathbb{R}^{p \times p} \]
其中 $ H_{ij} $ 是块上Hessenberg矩阵 $ \bar{H}_m \in \mathbb{R}^{(m+1)p \times mp} $ 的子块。
- 分块GMRES的极小化问题
- 近似解表示为 \(X_m = \mathcal{V}_m Y_m\)，其中 \(Y_m \in \mathbb{R}^{mp \times p}\) 是待求系数矩阵。
- 残差极小化问题转化为：
\[ \min_{Y_m} \| B - A \mathcal{V}_m Y_m \|_F = \min_{Y_m} \| V_1 R - \mathcal{V}_{m+1} \bar{H}_m Y_m \|_F \]
利用 $ \mathcal{V}_{m+1} $ 的正交性，问题简化为：
\[ \min_{Y_m} \| R e_1 - \bar{H}_m Y_m \|_F, \quad e_1 = [I_p, 0, \dots, 0]^\top \in \mathbb{R}^{mp \times p} \]
这里 $ R e_1 $ 表示将 $ R $ 放置在 $ \bar{H}_m $ 对应位置的高维扩展。
-
求解简化问题
- 通过块QR分解（如Givens旋转）将 \(\bar{H}_m\) 化为上三角矩阵，直接求解最小二乘问题。
- 更新解：\(X_m = X_0 + \mathcal{V}_m Y_m\)，其中 \(X_0\) 是初始猜测（常取零矩阵）。
-
算法优势与注意事项
- 优势：减少迭代次数，尤其当右端项相关时；可并行处理多个右端项。
- 挑战：子空间维度增长快（每步增加 \(p\) 维），需重启策略（如每 \(m\) 步重启）避免内存爆炸。
- 预处理技术（如块对角预处理）可进一步加速收敛。
总结
分块GMRES通过共享Krylov子空间，高效求解多重线性方程组。其核心是块Arnoldi过程构建正交基，并将原问题转化为低维最小二乘问题。该方法在计算流体力学、电磁仿真等多右端项场景中广泛应用。