排序算法之：循环不变式在 Strand Sort 中的正确性证明 题目描述 Strand Sort 是一种基于归并策略的排序算法，其核心思想是反复从原列表中提取已排序的“ Strand ”（连续递增子序列），并将这些 Strand 归并到结果列表中。要求使用 循环不变式 严格证明 Strand Sort 的正确性，即证明算法在每一步执行后均保持部分有序性，且最终得到完整有序序列。 解题过程 1. Strand Sort 算法步骤回顾 初始化：结果列表 result 为空，待排序列表 list 包含原始数据。 循环执行以下步骤直到 list 为空： a. 从 list 中提取一个 Strand（从左到右扫描，选择连续递增的最大子序列）。 b. 将 Strand 与 result 归并（类似归并排序的合并操作）。 c. 从 list 中删除已提取的 Strand 元素。 示例 （辅助理解）： 初始列表： [5, 2, 9, 1, 5, 6] 第1轮 Strand: [5, 9] （提取后 list 剩余 [2, 1, 5, 6] ），与 result=[] 归并得 result=[5, 9] 。 第2轮 Strand: [2, 5, 6] （剩余 [1] ），与 result=[5,9] 归并得 [2,5,5,6,9] 。 第3轮 Strand: [1] ，归并后得最终结果 [1,2,5,5,6,9] 。 2. 定义循环不变式 设算法第 k 轮迭代开始时（ k≥0 ）： 不变式 P(k) ： result 是已排序的列表。 result 中的所有元素均来自原列表，且其顺序与原列表中的相对顺序一致（稳定性）。 对于 list 中剩余的任何元素 x 和 result 中的任何元素 y ，若 x 在原列表中位于 y 之后，则 x ≥ result 的最后一个元素（确保后续 Strand 的最小值不小于 result 的尾部）。 3. 初始状态（k=0） result 为空，条件1和2自然满足。 条件3中“ result 的最后一个元素”不存在，可视为负无穷，因此条件3成立。 结论 ：P(0) 成立。 4. 保持性（第 k 轮迭代） 假设 P(k) 成立，需证明执行第 k 轮后 P(k+1) 仍成立： 步骤a（提取 Strand） ： Strand 是 list 的连续递增子序列，且其首元素是 list 的当前首元素（扫描从左侧开始）。根据 P(k) 的条件3，Strand 的首元素 ≥ result 的最后一个元素（若 result 非空）。 步骤b（归并 Strand 与 result） ： 由于 Strand 有序且 result 有序，归并操作生成的新 result 仍有序（归并排序的合并性质）。 归并时若元素相等，优先取 result 中的元素（因 Strand 来自原列表中更靠后的位置），保持稳定性。 步骤c（删除 Strand） ： 剩余 list 中的元素可能比 Strand 中的元素小，但根据 Strand 提取规则（取连续递增序列），剩余元素中任何未提取的 x 必然小于 Strand 中某个已提取的元素，且由于 Strand 的最小值 ≥ result 的旧尾部，新 result 的尾部变为 Strand 的尾部（最大值）。因此，剩余 list 中的任何 x 均 ≥ 新 result 的尾部（否则 x 会被包含在 Strand 中）。 结论 ：P(k+1) 成立。 5. 终止条件 循环终止时 list 为空，所有元素已归并到 result 。 根据 P(k) 的条件1， result 有序，且条件2保证稳定性。 因此算法正确输出完整有序列表。 6. 总结 通过循环不变式证明了 Strand Sort 的以下性质： 每轮迭代后 result 保持有序性和稳定性。 归并操作确保 Strand 的最小值不低于 result 的当前最大值，避免破坏整体有序性。 最终 list 为空时， result 即为原列表的排序结果。