自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧 题目描述 ： 计算积分 \[ I = \int_ 0^1 \frac{e^{-x}}{(x + 10^{-4})^{1/2}} dx \] 该被积函数在 \(x=0\) 附近存在边界层（即函数在极小区间内变化剧烈），直接使用数值积分方法可能因采样不足导致精度不足。要求结合变量替换技巧，利用自适应高斯-克朗罗德积分法（如Gauss-Kronrod 7-15点规则）高效计算积分值，并分析变量替换对误差控制的影响。 解题过程 1. 问题分析 被积函数 \(f(x) = \frac{e^{-x}}{(x + 10^{-4})^{1/2}}\) 在 \(x=0\) 附近分母的 \(10^{-4}\) 项导致梯度极大（边界层特征）： 当 \(x \ll 10^{-4}\) 时，分母近似为常数 \((10^{-4})^{1/2} = 0.01\)，函数值约 \(100\)； 当 \(x \gg 10^{-4}\) 时，分母近似 \(\sqrt{x}\)，函数缓慢衰减。 直接数值积分需在边界层内密集采样，自适应算法可能因递归过深而效率低下。 2. 变量替换策略 目标：通过变量替换 \(x = \phi(t)\) 将边界层区域拉伸，使函数变化平缓。常用方法为 指数型替换 ： \[ x = \phi(t) = 10^{-4} (e^{at} - 1) \] 其中 \(a\) 为调节参数。替换后积分变为： \[ I = \int_ 0^T f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt, \quad T = \frac{\ln(1 + 10^4)}{a} \] 导数项为： \[ \phi'(t) = 10^{-4} a e^{at} \] 参数 \(a\) 的选择需使新被积函数在 \(t\) 域内梯度均匀化。经验上取 \(a \approx 10\) 可有效拉伸边界层。 3. 自适应高斯-克朗罗德积分法 步骤 ： 基础规则 ：使用Gauss 7点与Kronrod 15点规则计算同一区间上的积分近似值 \(G_ 7\) 和 \(K_ {15}\)。 误差估计 ：\(\Delta = |K_ {15} - G_ 7|\)。 递归条件 ：若 \(\Delta > \varepsilon\)（如 \(\varepsilon = 10^{-8}\)），将区间二分并递归计算。 变量替换后的优势 ： 新被积函数在 \(t\) 域内梯度减小，自适应算法只需较少递归层即可满足精度要求； Kronrod点在高梯度区域的采样更有效，误差估计更可靠。 4. 计算示例 取 \(a=10\)，则 \(T = \ln(1+10^4)/10 \approx 0.921\)。新被积函数为： \[ g(t) = \frac{e^{-10^{-4}(e^{10t} - 1)}}{[ 10^{-4}(e^{10t} - 1) + 10^{-4} ]^{1/2}} \cdot (10^{-3} e^{10t}) \] 化简分母： \[ [ 10^{-4}(e^{10t} - 1 + 1)]^{1/2} = [ 10^{-4} e^{10t} ]^{1/2} = 10^{-2} e^{5t} \] 因此： \[ g(t) = \frac{e^{-10^{-4}(e^{10t} - 1)}}{10^{-2} e^{5t}} \cdot (10^{-3} e^{10t}) = 10^{-1} e^{5t} \cdot e^{-10^{-4}(e^{10t} - 1)} \] 函数 \(g(t)\) 在 \(t \in [ 0, 0.921 ]\) 内变化平缓（最大值约 \(0.1\)，最小值约 \(0.09\)），直接积分效率高。 5. 误差与效率分析 未替换时 ：自适应算法在 \([ 0, 10^{-3} ]\) 内需多次递归，总函数调用次数可能超 \(10^3\)。 替换后 ：函数平滑，递归深度显著降低，总调用次数可控制在 \(10^2\) 量级。 误差控制 ：变量替换不引入额外误差，因积分值通过数值规则直接计算，替换仅改变采样分布。 6. 总结 对于边界层问题，指数型变量替换能优化函数行为，提升自适应积分效率。关键步骤包括： 识别边界层位置与尺度； 选择替换函数拉伸边界层； 结合自适应高斯-克朗罗德法实现稳健的误差控制。