循环不变式在双调排序中的正确性证明

题目描述
双调排序（Bitonic Sort）是一种基于比较的并行排序算法，特别适合在硬件并行架构（如GPU）上实现。它的核心操作是"双调序列"的构建与合并。双调序列是指先单调递增再单调递减（或先减后增）的序列。双调排序通过递归地将输入序列转换为双调序列，并利用双调序列的性质进行排序。本题要求使用循环不变式（Loop Invariant）严格证明双调排序中关键步骤——双调合并（Bitonic Merge）的正确性。

解题过程

1. 理解双调合并操作

   • 双调合并的目的是将一个双调序列划分为两个子序列，通过比较交换操作使整个序列有序。
   • 具体步骤：假设序列长度为 \(n\)，对每一对距离为 \(n/2\) 的元素进行比较，若顺序不符合目标排序方向（如升序），则交换它们。然后递归地对两个长度为 \(n/2\) 的子序列进行相同操作。

2. 定义循环不变式
   在双调合并的迭代过程中，循环不变式描述如下：

   • 初始化：在第一次迭代前，序列是一个双调序列。
   • 保持：每次迭代后，序列的前半部分和后半部分仍然是双调序列，且前半部分的任何元素不大于后半部分的任何元素（对于升序排序）。
   • 终止：迭代结束时，整个序列被划分为两个双调序列，且满足上述大小关系，最终通过递归合并得到有序序列。

3. 证明初始化阶段

   • 初始时，输入序列是双调序列，满足循环不变式的初始条件。

4. 证明保持阶段

   • 设当前步骤比较距离为 \(d\)。每对比较交换操作会保证：
     • 若两个元素原本顺序正确，则保持不变；
     • 若顺序错误，交换后使得较小元素位于目标半区。
   • 通过数学归纳法可证明，每次操作后双调性质得以保持，且两个半区的大小关系不变。

5. 证明终止阶段

   • 当 \(d=1\) 时，所有相邻元素被比较交换，此时整个序列有序。
   • 递归合并子序列时，由于子序列已是双调序列且半区关系正确，最终整个序列有序。

6. 总结正确性

   • 循环不变式确保了双调合并每一步的可靠性，最终得到正确排序结果。此证明方法适用于任意长度的双调序列。