基于线性规划的图最小环覆盖问题求解示例 问题描述 图最小环覆盖问题是指在一个有向带权图 \( G = (V, E) \) 中，每个顶点必须被恰好一个环覆盖（即每个顶点有且仅有一条出边和一条入边属于环），且所有环的权重之和最小。该问题可转化为指派问题的扩展形式，适用于物流路径优化、电路设计等场景。例如，在无人机巡检路径规划中，需让无人机访问每个点恰好一次并返回起点，形成最小成本的环。 建模步骤 变量定义 ：设二进制变量 \( x_ {ij} \) 表示边 \( (i, j) \) 是否被选中（1为选中，0为否）。 目标函数 ：最小化总权重 \( \min \sum_ {i,j} w_ {ij} x_ {ij} \)，其中 \( w_ {ij} \) 为边权重。 约束条件 ： 每个顶点恰好一条出边：\( \sum_ j x_ {ij} = 1, \forall i \in V \)； 每个顶点恰好一条入边：\( \sum_ i x_ {ij} = 1, \forall j \in V \)； 消除子环约束（需动态添加）：\( \sum_ {i,j \in S} x_ {ij} \leq |S| - 1 \)，其中 \( S \) 是任意真子集且 \( |S| \geq 2 \)。 求解过程 初始松弛问题 ：先忽略子环约束，求解仅含出入度约束的线性规划（即指派问题）。例如，使用匈牙利算法得到初始解。 检测子环 ：若初始解包含多个不相交的环（例如顶点集被分为 \(\{1,2\}\) 和 \(\{3,4\}\) 两个环），则需打破子环。 添加割平面 ：对每个子环对应的顶点子集 \( S \)，添加约束 \( \sum_ {i,j \in S} x_ {ij} \leq |S| - 1 \)。例如，若子环包含顶点 \(\{1,2\}\)，则添加 \( x_ {12} + x_ {21} \leq 1 \)。 迭代求解 ：重新求解线性规划，重复检测和添加割平面，直到得到单一环覆盖全图。 实例演示 考虑有向图顶点集 \( V = \{1,2,3,4\} \)，边权重矩阵如下（无穷大表示无边）： \[ W = \begin{bmatrix} 0 & 2 & \infty & 1 \\ \infty & 0 & 3 & \infty \\ 4 & \infty & 0 & 5 \\ \infty & 6 & \infty & 0 \end{bmatrix} \] 步骤1 ：求解指派问题，初始解为边集 \(\{(1,4), (4,2), (2,3), (3,1)\}\)，形成环 \(1 \to 4 \to 2 \to 3 \to 1\)，总权重 \(1+6+3+4=14\)。 步骤2 ：若初始解包含子环（例如 \(1 \to 4 \to 1\) 和 \(2 \to 3 \to 2\)），则对子集 \(\{1,4\}\) 添加约束 \( x_ {14} + x_ {41} \leq 1 \)，重新求解直至得到全局环。 关键点 子环消除约束数量指数级增长，需使用割平面法动态添加； 实际应用中常结合分支定界法处理整数约束，确保 \( x_ {ij} \) 为二进制。