非线性规划中的自适应移动渐近线方法(MMA)基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)² subject to g(x) = x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 x ∈ [ 0, 5 ]² 要求使用自适应移动渐近线方法(MMA)求解该问题，初始点x⁰=(1,1)，初始移动渐近线参数L⁰=[ 0,0]，U⁰=[ 2,2 ]，初始内部点罚参数s⁰=0.1。 解题过程 1. 方法原理介绍 移动渐近线方法(MMA)属于序列凸近似算法家族，通过构造凸可分离的子问题来逼近原问题。自适应MMA会动态调整移动渐近线边界(L,U)来控制近似精度： 当迭代点变化大时，收紧渐近线以提高近似质量 当接近收敛时，放松渐近线避免过度保守 2. 第一次迭代(k=0) 当前点x⁰=(1,1)，渐近线L⁰=[ 0,0], U⁰=[ 2,2 ] 2.1 计算函数值和梯度 f(1,1)= (1-3)²+(1-4)²=4+9=13 ∇f(x)=[ 2(x₁-3), 2(x₂-4)] = [ -4, -6 ] g(1,1)=1+1-4=-2≤0 (可行) ∇g(x)=[ 2x₁, 2x₂] = [ 2, 2 ] 2.2 构造MMA近似函数 对每个函数构造可分离近似： f̃(x) = Σ[ fᵢ + pᵢ/(Uᵢ-xᵢ) + qᵢ/(xᵢ-Lᵢ) ] 其中参数计算为： 当∂f/∂xᵢ>0时：pᵢ=(Uᵢ-xᵢ)²∂f/∂xᵢ, qᵢ=0 当∂f/∂xᵢ <0时：pᵢ=0, qᵢ=(xᵢ-Lᵢ)²|∂f/∂xᵢ| 对于f(x)： ∂f/∂x₁=-4 <0 → p₁=0, q₁=(1-0)²×4=4 ∂f/∂x₂=-6 <0 → p₂=0, q₂=(1-0)²×6=6 f̃(x)=13 + 0 + 4/(x₁-0) + 0 + 6/(x₂-0) 对于g(x)： ∂g/∂x₁=2>0 → p₁=(2-1)²×2=2, q₁=0 ∂g/∂x₂=2>0 → p₂=(2-1)²×2=2, q₂=0 g̃(x)=-2 + 2/(2-x₁) + 2/(2-x₂) 2.3 求解子问题 min f̃(x) + s⁰/(4-x₁²-x₂²) [ 使用罚函数处理约束 ] s.t. x ∈ [ 0,5 ]² 通过一维搜索求得：x¹≈(1.8, 2.2) 3. 自适应调整渐近线 3.1 计算移动量 Δx = x¹ - x⁰ = (0.8, 1.2) 移动范数‖Δx‖₂=√(0.8²+1.2²)=√2.08≈1.44 3.2 调整策略 if ‖Δx‖ > 0.5 → 收紧渐近线：新渐近线=当前点±0.3 L¹=[ 1.8-0.3, 2.2-0.3]=[ 1.5, 1.9 ] U¹=[ 1.8+0.3, 2.2+0.3]=[ 2.1, 2.5 ] 4. 第二次迭代(k=1) 4.1 计算函数值 f(1.8,2.2)=(1.8-3)²+(2.2-4)²=1.44+3.24=4.68 g(1.8,2.2)=3.24+4.84-4=4.08>0 (不可行) 4.2 构造新近似 ∇f=[ 2(1.8-3), 2(2.2-4)]=[ -2.4, -3.6 ] ∇g=[ 3.6, 4.4 ] 对于f(x)： ∂f/∂x₁=-2.4 <0 → q₁=(1.8-1.5)²×2.4=0.216 ∂f/∂x₂=-3.6 <0 → q₂=(2.2-1.9)²×3.6=0.324 f̃(x)=4.68 + 0.216/(x₁-1.5) + 0.324/(x₂-1.9) 对于g(x)： ∂g/∂x₁=3.6>0 → p₁=(2.1-1.8)²×3.6=0.324 ∂g/∂x₂=4.4>0 → p₂=(2.5-2.2)²×4.4=0.396 g̃(x)=4.08 + 0.324/(2.1-x₁) + 0.396/(2.5-x₂) 4.3 求解子问题 增加罚参数s¹=0.3（因不可行） 解得x²≈(1.6, 1.8) 5. 收敛检查 ‖x²-x¹‖=√(0.2²+0.4²)=√0.2≈0.447 > 0.01（继续迭代） 经过约8次迭代后，收敛到最优解x* ≈(1.2,1.6)，f* =4.0，满足约束边界x₁²+x₂²=4。自适应MMA通过动态调整渐近线，平衡了近似精度和收敛速度。