区间动态规划例题：鸡蛋掉落问题（两枚鸡蛋，特定楼层版本） 题目描述 你有一栋从 1 到 n 共 n 层的楼和两枚完全相同的鸡蛋。已知存在一个楼层 f（0 ≤ f ≤ n），从任何低于或等于 f 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋不会碎；从任何高于 f 的楼层扔鸡蛋，鸡蛋会碎。你需要 确定 f 的具体值 ，且操作需满足以下约束： 如果鸡蛋没碎，可以继续使用； 如果鸡蛋碎了，就不能再使用； 在每次操作中，你可以取一枚鸡蛋从某一楼层扔下，并观察结果。 求 最坏情况下 需要的最小操作次数。 解题思路 这是一个经典的动态规划问题，但通常用线性 DP 解决。若将其视为区间 DP，可定义状态为： dp[ i][ j] 表示有 i 枚鸡蛋，需要测试 j 层楼时，最坏情况下的最小操作次数。 本题中 i=2，但为了展示区间 DP 思想，我们假设鸡蛋数可扩展（尽管最优解是数学解法）。 状态转移 ： 在第 k 层扔鸡蛋（1 ≤ k ≤ j）： 如果鸡蛋碎了，说明 f 在 k 层以下，剩余问题为 dp[ i-1][ k-1 ]（用剩余鸡蛋测 k-1 层）。 如果鸡蛋没碎，说明 f 在 k 层以上，剩余问题为 dp[ i][ j-k ]（用 i 枚鸡蛋测 j-k 层）。 最坏情况下需取两种情况的最大值，再加上本次操作： \[ dp[ i][ j] = \min_ {1 \le k \le j} \left( \max(dp[ i-1][ k-1], dp[ i][ j-k ]) + 1 \right) \] 边界条件 ： 如果楼层数为 0（j=0），不需要操作，dp[ i][ 0 ] = 0。 如果鸡蛋数为 1（i=1），只能从低到高逐层测试，dp[ 1][ j ] = j。 详细步骤（以 n=10 层，2 枚鸡蛋为例） 初始化 ： dp[ 1][ j ] = j（仅一枚鸡蛋时，必须线性扫描）。 dp[ i][ 0 ] = 0。 填表（i=2） ： j=1：dp[ 2][ 1] = min(max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 0 ])+1) = max(0,0)+1 = 1。 j=2： k=1：max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 1 ])+1 = max(0,1)+1=2 k=2：max(dp[ 1][ 1], dp[ 2][ 0 ])+1 = max(1,0)+1=2 取最小值 2。 j=3： k=1：max(0, dp[ 2][ 2 ])+1 = 0+2+1? 需计算：实际是 max(0,2)+1=3 k=2：max(dp[ 1][ 1], dp[ 2][ 1 ])+1 = max(1,1)+1=3 k=3：max(dp[ 1][ 2 ], 0)+1 = max(2,0)+1=3 最小值为 3。 继续计算至 j=10。 优化 ： 实际计算中发现，当 i=2 时，dp[ 2][ j] 的解是满足 t(t+1)/2 ≥ j 的最小 t。例如 j=10，t=4 因为 4×5/2=10≥10，所以 dp[ 2][ 10 ]=4。 答案验证（n=10） 策略：第一次在 4 层扔： 若碎，剩 1 枚鸡蛋测 1~3 层（最多 3 次，总 4 次）。 若不碎，第二次在 4+3=7 层扔： 若碎，剩 1 枚鸡蛋测 5~6 层（最多 2 次，总 4 次）。 若不碎，第三次在 7+2=9 层扔，依此类推。 最坏情况下操作次数为 4，与 DP 结果一致。 关键点 区间 DP 通过枚举第一次扔鸡蛋的楼层 k，将问题划分为两个子区间。 当鸡蛋数为 2 时，可用数学公式简化，但 DP 思路适用于更多鸡蛋的情况（如 i>2）。 状态定义中“区间”是楼层范围，决策是选择划分点 k。