高斯-拉盖尔求积公式在带端点奇异性的半无穷积分中的变量替换技巧 题目描述 考虑计算半无穷积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处具有奇异性（例如 \( f(x) = x^{-1/2} g(x) \)，\( g(x) \) 光滑）。直接使用标准高斯-拉盖尔求积公式（适用于权函数 \( e^{-x} \)）可能因端点奇异性导致精度下降。要求设计变量替换技巧，将原积分转化为适合高斯-拉盖尔求积的形式，并分析替换后的权函数与正交多项式的关系。 解题过程 问题分析 高斯-拉盖尔求积公式适用于积分 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} h(x) \, dx \)，其节点和权重基于拉盖尔多项式的零点。 原积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx \) 无显式权函数 \( e^{-x} \)，且 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处奇异，直接应用公式会因奇异性导致误差发散。 变量替换策略 目标：引入替换 \( x = \varphi(t) \)，将奇异性吸收到权函数中，使新被积函数光滑。 常用替换：令 \( x = t^p \)（\( p > 0 \)），则 \( dx = p t^{p-1} dt \)，积分变为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} f(t^p) \cdot p t^{p-1} \, dt. \] 选择 \( p \) 使得 \( t^{p-1} \) 抵消 \( f(x) \) 的奇异性。例如，若 \( f(x) \sim x^{-1/2} \)，取 \( p=2 \)，则 \( f(t^2) \sim t^{-1} \)，而 \( t^{p-1} = t^{1} \)，乘积 \( f(t^2) \cdot 2t \sim t^0 \) 变为光滑函数。 匹配高斯-拉盖尔权函数 替换后积分形式为 \( I = \int_ {0}^{\infty} t^{p-1} f(t^p) \cdot p \, dt \)，仍无显式 \( e^{-t} \) 权函数。 进一步构造：令 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-t} \left[ e^{t} p t^{p-1} f(t^p) \right ] dt \)。此时被积函数括号内部分需光滑，但 \( e^{t} \) 增长过快，不适合数值计算。 改进方案：将积分拆分为 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-t} \cdot e^{t} f(t) \, dt \)，但 \( e^{t} f(t) \) 可能无界。更稳妥的方法是使用 广义高斯-拉盖尔求积 ，其权函数为 \( x^{\alpha} e^{-x} \)（\( \alpha > -1 \)），通过选择 \( \alpha = p-1 \) 直接匹配替换后的形式。 广义高斯-拉盖尔求积的应用 广义公式针对积分 \( \int_ {0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} h(x) \, dx \)，节点和权重由广义拉盖尔多项式 \( L_ n^{(\alpha)}(x) \) 决定。 令 \( \alpha = p-1 \)，并取 \( h(t) = p f(t^p) \)，则原积分可精确表示为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} t^{\alpha} e^{-t} h(t) \, dt \quad \text{其中} \quad h(t) = p f(t^p). \] 若 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的奇异性被 \( \alpha \) 抵消（即 \( \alpha \) 选择使 \( h(t) \) 光滑），则求积公式可高效计算。 示例与参数选择 例：设 \( f(x) = x^{-1/2} \sin x \)，在 \( x=0 \) 有 \( x^{-1/2} \) 奇异性。 取 \( p=2 \)，则 \( \alpha = p-1 = 1 \)，\( h(t) = 2 f(t^2) = 2 t^{-1} \sin(t^2) \cdot t^{1} = 2 \sin(t^2) \)（光滑）。 积分化为 \( I = \int_ {0}^{\infty} t^{1} e^{-t} \cdot 2 \sin(t^2) \, dt \)，可直接应用 \( \alpha=1 \) 的广义高斯-拉盖尔求积。 参数 \( p \) 需通过奇异性阶数调整：若 \( f(x) \sim x^{\beta} \)（\( \beta > -1 \)），则选 \( p \) 使 \( \alpha = p-1 + p\beta > -1 \) 且 \( h(t) \) 光滑。 误差与收敛性 广义高斯-拉盖尔求积的误差依赖于 \( h(t) \) 的光滑性，替换后若 \( h(t) \) 解析，则误差以指数速度下降。 若奇异性未完全消除（如 \( h(t) \) 仍弱奇异），需增加节点数或使用自适应细分。 总结 通过变量替换 \( x = t^p \) 和广义高斯-拉盖尔求积的结合，可将端点奇异性转化为权函数 \( x^{\alpha} e^{-x} \) 的一部分，使剩余被积函数光滑，从而保证数值积分的精度和收敛性。