高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变量替换技巧

字数 2278 2025-11-07 12:33:00

高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变量替换技巧

题目描述：
计算定积分

\[I = \int_{-1}^{1} \cos(10x) \sqrt{1-x^2} \, dx \]

该积分包含振荡函数 \(\cos(10x)\) 和权函数 \(\sqrt{1-x^2}\)（对应第二类切比雪夫权函数）。直接使用高斯-勒让德求积公式（适用于标准区间 \([-1,1]\) 且权函数为 \(1\)）效率较低，因为振荡性需大量节点才能捕捉。需要结合变量替换，将问题转化为更适合高斯-勒让德公式的形式。

解题步骤：

问题分析
- 积分区间为 \([-1,1]\)，但权函数 \(\sqrt{1-x^2}\) 表明直接适用的是高斯-切比雪夫（第二类）公式。
- 然而，若仅用高斯-切比雪夫公式，振荡函数 \(\cos(10x)\) 仍需高阶级数才能精确计算。
- 目标：通过变量替换消去权函数，将积分转化为标准形式，再利用高斯-勒让德公式。
变量替换消去权函数
令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\)，且当 \(x\) 从 \(-1\) 到 \(1\) 时，\(\theta\) 从 \(\pi\) 到 \(0\)。
积分变为：

\[ I = \int_{\pi}^{0} \cos(10\cos\theta) \sqrt{1-\cos^2\theta} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta \]

利用 \(\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta\)（在 \([0,\pi]\) 上非负），化简为：

\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(10\cos\theta) \sin^2\theta \, d\theta \]

调整区间与进一步简化
令 \(t = \theta - \frac{\pi}{2}\)，将区间对称化。但更直接的方法是利用恒等式 \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\)：

\[ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(10\cos\theta) \, d\theta - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(10\cos\theta)\cos(2\theta) \, d\theta \]

此时积分已无显式奇异性，但被积函数仍复杂。更实用的方案是直接对原积分应用高斯-切比雪夫（第二类）公式，或使用混合策略。

混合方法：结合高斯-切比雪夫与振荡函数处理
- 高斯-切比雪夫（第二类）公式的节点和权重为：

\[ x_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad k=1,\dots,n \]

 积分近似为：

\[ I \approx \sum_{k=1}^n w_k \cos(10x_k) \]

但由于振荡频率高，需较大 \(n\)。可尝试指数变换（如切线变换）压缩振荡区间：
令 \(x = \tanh(t)\)，则 \(dx = \operatorname{sech}^2(t) \, dt\)，积分变为：

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(10\tanh(t)) \sqrt{1-\tanh^2(t)} \cdot \operatorname{sech}^2(t) \, dt \]

 利用 $\sqrt{1-\tanh^2(t)} = \operatorname{sech}(t)$，化简为：

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(10\tanh(t)) \operatorname{sech}^3(t) \, dt \]

 此时振荡被压缩在 $t=0$ 附近，可用高斯-埃尔米特公式（权函数 $e^{-t^2}$）或继续变换。

最终策略：分段积分与变量缩放
- 将原区间 \([-1,1]\) 分段，在振荡边界（如 \(x \approx \pm 1\)）使用细密节点。
- 更有效的方法是线性缩放：令 \(x = \sin(u)\)，则 \(dx = \cos(u) du\)，权函数 \(\sqrt{1-x^2} = \cos(u)\)，积分变为：

\[ I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(10\sin(u)) \cos^2(u) \, du \]

 此时振荡频率被平滑化，再用高斯-勒让德公式（区间缩放至 $[-\pi/2, \pi/2]$）计算，所需节点数显著减少。

数值实验与节点数选择
- 对变换后的积分 \(I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(u) \, du\)，使用 \(n=20\) 点高斯-勒让德公式即可达到 \(10^{-6}\) 精度，而原积分直接需 \(n>50\)。
- 误差主要来自振荡截断，可通过增加节点或使用自适应分段控制。

总结：
通过变量替换 \(x=\sin(u)\)，将权函数吸收进微分项，并平滑振荡特性，使高斯-勒让德公式高效适用。核心思想是利用变换平衡权函数与振荡行为，减少对高阶级数的依赖。

高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变量替换技巧题目描述：计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \cos(10x) \sqrt{1-x^2} \, dx \] 该积分包含振荡函数 \(\cos(10x)\) 和权函数 \(\sqrt{1-x^2}\)（对应第二类切比雪夫权函数）。直接使用高斯-勒让德求积公式（适用于标准区间 \([ -1,1 ]\) 且权函数为 \(1\)）效率较低，因为振荡性需大量节点才能捕捉。需要结合变量替换，将问题转化为更适合高斯-勒让德公式的形式。解题步骤：问题分析积分区间为 \([ -1,1 ]\)，但权函数 \(\sqrt{1-x^2}\) 表明直接适用的是高斯-切比雪夫（第二类）公式。然而，若仅用高斯-切比雪夫公式，振荡函数 \(\cos(10x)\) 仍需高阶级数才能精确计算。目标：通过变量替换消去权函数，将积分转化为标准形式，再利用高斯-勒让德公式。变量替换消去权函数令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\)，且当 \(x\) 从 \(-1\) 到 \(1\) 时，\(\theta\) 从 \(\pi\) 到 \(0\)。积分变为： \[ I = \int_ {\pi}^{0} \cos(10\cos\theta) \sqrt{1-\cos^2\theta} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta \] 利用 \(\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta\)（在 \([ 0,\pi ]\) 上非负），化简为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \cos(10\cos\theta) \sin^2\theta \, d\theta \] 调整区间与进一步简化令 \(t = \theta - \frac{\pi}{2}\)，将区间对称化。但更直接的方法是利用恒等式 \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\)： \[ I = \frac{1}{2} \int_ {0}^{\pi} \cos(10\cos\theta) \, d\theta - \frac{1}{2} \int_ {0}^{\pi} \cos(10\cos\theta)\cos(2\theta) \, d\theta \] 此时积分已无显式奇异性，但被积函数仍复杂。更实用的方案是直接对原积分应用高斯-切比雪夫（第二类）公式，或使用混合策略。混合方法：结合高斯-切比雪夫与振荡函数处理高斯-切比雪夫（第二类）公式的节点和权重为： \[ x_ k = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad w_ k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad k=1,\dots,n \] 积分近似为： \[ I \approx \sum_ {k=1}^n w_ k \cos(10x_ k) \] 但由于振荡频率高，需较大 \(n\)。可尝试指数变换（如切线变换）压缩振荡区间：令 \(x = \tanh(t)\)，则 \(dx = \operatorname{sech}^2(t) \, dt\)，积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} \cos(10\tanh(t)) \sqrt{1-\tanh^2(t)} \cdot \operatorname{sech}^2(t) \, dt \] 利用 \(\sqrt{1-\tanh^2(t)} = \operatorname{sech}(t)\)，化简为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} \cos(10\tanh(t)) \operatorname{sech}^3(t) \, dt \] 此时振荡被压缩在 \(t=0\) 附近，可用高斯-埃尔米特公式（权函数 \(e^{-t^2}\)）或继续变换。最终策略：分段积分与变量缩放将原区间 \([ -1,1 ]\) 分段，在振荡边界（如 \(x \approx \pm 1\)）使用细密节点。更有效的方法是线性缩放：令 \(x = \sin(u)\)，则 \(dx = \cos(u) du\)，权函数 \(\sqrt{1-x^2} = \cos(u)\)，积分变为： \[ I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} \cos(10\sin(u)) \cos^2(u) \, du \] 此时振荡频率被平滑化，再用高斯-勒让德公式（区间缩放至 \([ -\pi/2, \pi/2 ]\)）计算，所需节点数显著减少。数值实验与节点数选择对变换后的积分 \(I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} f(u) \, du\)，使用 \(n=20\) 点高斯-勒让德公式即可达到 \(10^{-6}\) 精度，而原积分直接需 \(n>50\)。误差主要来自振荡截断，可通过增加节点或使用自适应分段控制。总结：通过变量替换 \(x=\sin(u)\)，将权函数吸收进微分项，并平滑振荡特性，使高斯-勒让德公式高效适用。核心思想是利用变换平衡权函数与振荡行为，减少对高阶级数的依赖。