回文分割的最小切割次数问题（进阶版：带权值） 题目描述 给定一个字符串s，以及一个权值数组weights，其中weights[ i]表示将字符串s的第i个字符作为分割点（即在s[ i]和s[ i+1 ]之间进行切割）的代价。我们的目标是将字符串s分割成若干个子串，使得每个子串都是回文串，并且所有分割点的代价之和最小。如果无法分割成全部是回文串，则返回-1。 解题过程 问题分析 这是一个典型的区间动态规划问题，需要在字符串s上找到一组分割点，使得每个分割后的子串都是回文串，并且分割点的总代价最小。与基础版不同，这里每个分割点的代价可能不同，增加了问题的复杂性。 定义状态 设dp[ i][ j]表示将子串s[ i:j+1]（即从索引i到j的子串）分割成回文子串的最小切割代价。如果s[ i:j+1 ]本身是回文串，则不需要切割，代价为0。否则，我们需要在i到j-1之间寻找分割点k，使得分割后的左右两部分都是回文串，并且总代价最小。 状态转移方程 如果s[ i:j+1]是回文串，则dp[ i][ j ] = 0。 否则，遍历所有可能的分割点k（i ≤ k < j），将子串分割为s[ i:k+1]和s[ k+1:j+1]两部分。总代价为左右两部分的切割代价之和，加上在k处切割的代价weights[ k]（即在s[ k]和s[ k+1 ]之间切割的代价）。 状态转移方程为： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + weights[ k ])，其中k从i到j-1。 如果无法分割（即所有分割方案都无效），则dp[ i][ j ] = ∞。 初始化 单个字符的子串一定是回文串，因此dp[ i][ i ] = 0。 对于长度大于1的子串，初始值设为∞，表示尚未找到有效分割方案。 计算顺序 按照子串长度从小到大计算：先计算所有长度为2的子串，然后长度为3，依此类推，直到整个字符串s[ 0:n-1 ]。 判断回文子串 为了高效判断s[ i:j+1]是否为回文串，可以预先计算一个二维数组isPal[ i][ j]，表示s[ i:j+1 ]是否为回文串。计算isPal时，同样使用动态规划： isPal[ i][ j]为真，当且仅当s[ i] == s[ j]且isPal[ i+1][ j-1 ]为真（或j-i ≤ 1）。 最终结果 整个字符串的最小切割代价为dp[ 0][ n-1]。如果dp[ 0][ n-1 ]为∞，则返回-1，否则返回该值。 示例 假设s = "aab"，weights = [ 1, 2, 3 ]（长度为n-1=2）。 计算isPal： "a"（索引0-0）是回文；"a"（1-1）是回文；"b"（2-2）是回文； "aa"（0-1）是回文；"ab"（1-2）不是回文；"aab"（0-2）不是回文。 计算dp： dp[ 0][ 0]=0, dp[ 1][ 1]=0, dp[ 2][ 2 ]=0； 长度2：dp[ 0][ 1]=0（"aa"是回文），dp[ 1][ 2 ]=∞（"ab"不是回文且无法分割）； 长度3：dp[ 0][ 2 ] = min( dp[ 0][ 0] + dp[ 1][ 2] + weights[ 0 ] = 0 + ∞ + 1 → ∞, dp[ 0][ 1] + dp[ 2][ 2] + weights[ 1 ] = 0 + 0 + 2 = 2 ) = 2。 最终结果为2。 通过以上步骤，我们可以高效地求解带权值的回文分割最小切割问题。