高斯-克朗罗德积分法在振荡函数积分中的误差控制技巧 题目描述 考虑计算振荡函数积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \sin(\omega x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 是光滑函数，\( \omega \) 是较大的频率参数。直接使用高斯求积公式可能因振荡导致节点不足而精度下降。要求基于高斯-克朗罗德积分法设计一种误差控制策略，在保证计算效率的同时，有效适应不同振荡频率。 解题过程 问题分析 振荡函数积分难点：当 \( \omega \) 较大时，被积函数高频振荡，需密集采样才能捕捉振荡细节。 高斯-克朗罗德法的优势：在 \( n \) 点高斯求积节点基础上插入 \( n+1 \) 个新节点，形成 \( 2n+1 \) 点克朗罗德估计，利用两者差值估计误差。 核心挑战：若振荡周期远小于节点间距，高斯估计和克朗罗德估计可能同时失效，需动态调整节点数。 高斯-克朗罗德法的误差估计原理 设 \( G_ n \) 为 \( n \) 点高斯-勒让德公式的积分估计，\( K_ {2n+1} \) 为 \( 2n+1 \) 点克朗罗德估计。 误差估计量：\( E_ n = |K_ {2n+1} - G_ n| \)。理论上，若函数光滑，\( E_ n \) 随 \( n \) 增大快速衰减。 但振荡函数需满足采样定理：节点间距应小于振荡周期的 \( 1/2 \)，即需 \( n > \omega / \pi \)。 自适应误差控制策略 初始节点选择 ：从较小 \( n \)（如 \( n=7 \)）开始，计算 \( G_ n \) 和 \( K_ {2n+1} \)。 振荡感知判断 ：若 \( \omega > \pi n \)，说明节点数可能不足，直接倍增 \( n \) 至 \( n \geq \omega / \pi \) 再检查误差。 误差收敛检查 ：当 \( n \) 满足振荡要求后，若 \( E_ n \leq \varepsilon \)（设定容差），接受 \( K_ {2n+1} \) 为结果；否则倍增 \( n \) 重新计算。 终止条件 ：同时满足 \( E_ n \leq \varepsilon \) 且 \( n \geq 2\omega / \pi \)（留有余量）。 示例与数值稳定性 以 \( f(x)=e^{-x^2}, \omega=50, \varepsilon=10^{-6} \) 为例： 初始 \( n=7 \)，因 \( \omega=50 > \pi \times 7 \approx 22 \)，直接跳至 \( n=32 \)（满足 \( n > 50/\pi \approx 16 \)）。 计算 \( E_ {32} \)，若未达标则继续倍增 \( n \)。 稳定性技巧：避免 \( n \) 过大时舍入误差累积，可限制最大 \( n \)（如 \( n \leq 1000 \)）。 优化扩展 若 \( \omega \) 极大，可结合变量替换 \( t = \omega x \) 将振荡部分分离，再用傅里叶积分方法处理。 对于非区间 \([ -1,1 ]\) 的积分，需先线性变换至该区间。 总结 本方法通过振荡感知的初始节点选择和自适应误差判断，使高斯-克朗罗德法有效处理振荡积分，平衡计算成本与精度需求。