线性动态系统（LDS）的卡尔曼滤波算法原理与状态估计过程
题目描述
线性动态系统（LDS）用于描述一个具有内在状态的系统，其状态随时间线性演化，并且我们只能通过包含噪声的观测值来间接感知系统的状态。卡尔曼滤波是一种高效的递归滤波器，它能够从一系列包含噪声的观测数据中，估计动态系统的内部状态。其核心任务是，在已知系统动态模型和观测模型的情况下，根据到当前时刻为止的所有观测数据，最优地（均方误差最小）估计当前时刻的系统状态。本题要求详细理解并阐述卡尔曼滤波算法的原理及其递推计算过程。
解题过程
1. 系统模型定义
卡尔曼滤波建立在两个核心的线性高斯模型之上：
a. 状态转移模型（系统模型）：描述状态如何随时间演化。
\(\mathbf{x}_t = \mathbf{A}_t \mathbf{x}_{t-1} + \mathbf{B}_t \mathbf{u}_t + \mathbf{w}_t\)
* \(\mathbf{x}_t\)： 时刻 \(t\) 的系统状态（一个向量，例如位置、速度）。
* \(\mathbf{A}_t\)： 状态转移矩阵，描述状态如何从 \(t-1\) 时刻演化到 \(t\) 时刻。
* \(\mathbf{u}_t\)： 时刻 \(t\) 的控制输入（可选，例如加速度）。
* \(\mathbf{B}_t\)： 控制输入矩阵，描述控制输入如何影响状态。
* \(\mathbf{w}_t\)： 过程噪声，服从均值为0、协方差矩阵为 \(\mathbf{Q}_t\) 的高斯分布，即 \(\mathbf{w}_t \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_t)\)。
b. 观测模型：描述我们如何观测到系统的状态。
\(\mathbf{z}_t = \mathbf{H}_t \mathbf{x}_t + \mathbf{v}_t\)
* \(\mathbf{z}_t\)： 时刻 \(t\) 的观测值（一个向量）。
* \(\mathbf{H}_t\)： 观测矩阵，描述真实状态如何映射到观测空间。
* \mathbf{v}_t\)： 观测噪声，服从均值为0、协方差矩阵为 \(\mathbf{R}_t\) 的高斯分布，即 \(\mathbf{v}_t \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}_t)\)。
2. 卡尔曼滤波的递归循环
算法是一个“预测-更新”循环。在每一步 \(t\)，我们拥有上一时刻的后验估计，并利用当前时刻的观测值 \(\mathbf{z}_t\) 来得到当前时刻的后验估计。
- 输入：上一时刻的后验状态估计 \(\hat{\mathbf{x}}_{t-1|t-1}\) 及其估计误差的协方差矩阵 \(\mathbf{P}_{t-1|t-1}\)。
- 输出：当前时刻的后验状态估计 \(\hat{\mathbf{x}}_{t|t}\) 及其估计误差的协方差矩阵 \(\mathbf{P}_{t|t}\)。
步骤一：预测步（时间更新）
在这一步，我们利用系统模型来预测当前时刻的状态和不确定性，但尚未使用当前时刻的观测值。
a. 先验状态预测：根据系统模型，预测 \(t\) 时刻的状态。
\(\hat{\mathbf{x}}_{t|t-1} = \mathbf{A}_t \hat{\mathbf{x}}_{t-1|t-1} + \mathbf{B}_t \mathbf{u}_t\)
b. 先验协方差预测：预测 \(t\) 时刻状态估计的不确定性。不确定性来自两个方面：上一时刻估计的不确定性（\(\mathbf{P}_{t-1|t-1}\)）和过程噪声引入的不确定性（\(\mathbf{Q}_t\)）。
\(\mathbf{P}_{t|t-1} = \mathbf{A}_t \mathbf{P}_{t-1|t-1} \mathbf{A}_t^T + \mathbf{Q}_t\)
步骤二：更新步（测量更新）
在这一步，我们结合预测值（先验）和新的观测值 \(\mathbf{z}_t\) 来得到更精确的估计（后验）。
a. 计算卡尔曼增益：卡尔曼增益 \(\mathbf{K}_t\) 是一个权衡因子，决定我们应该在多大程度上相信预测值还是观测值。
\(\mathbf{K}_t = \mathbf{P}_{t|t-1} \mathbf{H}_t^T (\mathbf{H}_t \mathbf{P}_{t|t-1} \mathbf{H}_t^T + \mathbf{R}_t)^{-1}\)
* 如果观测噪声 \(\mathbf{R}_t\) 很小（观测很精确），增益会变大，意味着更相信观测。
* 如果预测的不确定性 \(\mathbf{P}_{t|t-1}\) 很大，增益也会变大，意味着需要更多依赖观测来修正预测。
b. 后验状态更新：用卡尔曼增益将先验状态预测和观测的新息（观测值与预测观测值之差）进行融合。
\(\hat{\mathbf{x}}_{t|t} = \hat{\mathbf{x}}_{t|t-1} + \mathbf{K}_t (\mathbf{z}_t - \mathbf{H}_t \hat{\mathbf{x}}_{t|t-1})\)
* \((\mathbf{z}_t - \mathbf{H}_t \hat{\mathbf{x}}_{t|t-1})\) 被称为新息，它代表了实际观测与我们预测的观测之间的差异。
c. 后验协方差更新：更新状态估计的不确定性。由于融入了新的观测信息，不确定性会减小。
\(\mathbf{P}_{t|t} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_t \mathbf{H}_t) \mathbf{P}_{t|t-1}\)
* \(\mathbf{I}\) 是单位矩阵。
3. 算法初始化与循环
算法需要一个起始点：
- \(\hat{\mathbf{x}}_{0|0} = E[\mathbf{x}_0]\) （初始状态的期望）
- \(\mathbf{P}_{0|0} = E[(\mathbf{x}_0 - \hat{\mathbf{x}}_{0|0})(\mathbf{x}_0 - \hat{\mathbf{x}}_{0|0})^T]\) （初始状态的协方差）
然后，对于每一个新的时间步 \(t = 1, 2, 3, ...\)，重复执行预测步和更新步。这个过程是递归的，计算效率很高，因为它不需要保存历史数据，只需要上一时刻的结果。
总结
卡尔曼滤波通过“预测-修正”的框架，优雅地结合了系统动力学模型和带噪声的观测数据。预测步根据模型外推状态，更新步则根据观测残差来修正预测。卡尔曼增益动态地调整对模型和观测的信任度，从而在满足线性高斯假设的条件下，给出了最优的状态估计。