非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型混合算法基础题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束条件：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0
其中 x = (x₁, x₂) ∈ R²

解题过程：

1. 算法框架理解
   这是一个综合了多种先进技术的混合算法，核心思想是：

• 使用序列二次规划(SQP)作为基本迭代框架
• 积极集策略识别有效约束
• 乘子法处理约束违反
• 过滤器避免Maratos效应
• 信赖域控制步长可靠性
• 自适应屏障函数处理不等式约束
• 代理模型减少函数计算成本

2. 初始化
   设初始点 x⁰ = (0.5, 0.5)，初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5
   初始拉格朗日乘子估计 λ⁰ = (0, 0)
   初始屏障参数 μ₀ = 1.0
   构建二次代理模型逼近原问题

3. 构建子问题
   在第k次迭代时，构建二次规划子问题：
   最小化 ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd
   满足约束：
   ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd + gᵢ(xᵏ) ≤ 0, i∈Aᵏ（积极集）
   ||d|| ≤ Δᵏ（信赖域约束）
   其中Bᵏ是Hessian矩阵的近似，通过BFGS更新

4. 积极集识别
   使用阈值ε=10⁻⁶判断约束活跃性：
   如果 |gᵢ(xᵏ)| ≤ ε 或 λᵢ > 0，则约束i被认为是积极的
   当前点x⁰处：g₁ = -0.25（不活跃），g₂ = 0.5（活跃）

5. 求解子问题
   在信赖域内求解二次规划，得到试探步长dᵏ
   计算预测下降量：Δq = q(0) - q(dᵏ)
   实际下降量：Δf = f(xᵏ) - f(xᵏ + dᵏ)

6. 过滤器机制
   定义(θ, f)空间，其中θ是约束违反度量
   如果新点能改善f或θ，且不被过滤器中的任何点支配，则接受
   避免目标函数和约束违反之间的权衡僵局

7. 自适应屏障处理
   对不等式约束引入对数屏障项：-μ∑ln(-gᵢ(x))
   屏障参数μ根据收敛情况自适应调整：μ_{k+1} = 0.1μₖ

8. 代理模型更新
   使用二次模型近似原函数，减少昂贵函数计算
   根据实际/预测下降比调整模型精度
   如果ρ = Δf/Δq > 0.75，增大信赖域；如果ρ < 0.25，减小信赖域

9. 收敛判断
   检查KKT条件的满足程度：
   ||∇L(x, λ)|| ≤ ε₁
   max(0, gᵢ(x)) ≤ ε₂
   其中ε₁=ε₂=10⁻⁶

10. 迭代过程示例
    从x⁰开始，经过约5-6次迭代收敛到最优解x* ≈ (0.907, 0.823)
    最优值f(x*) ≈ 0.015，两个约束在最优解处都是活跃的

这个混合算法综合了多种技术的优点，在保证收敛性的同时提高了计算效率。