其中 $ U, V \in \mathbb{R}^{n \times r} $，总修正秩 $ r = \sum_{i=1}^k r_i $。  

 通过矩阵乘法组合结果（复杂度 $ O(n^2 r) $）。

分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在多重低秩更新求逆中的应用 题目描述 假设我们有一个已知逆矩阵的大型分块矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，其逆矩阵 \( A^{-1} \) 已预先计算。现需要对 \( A \) 进行多次低秩修正（例如 \( k \) 次修正），每次修正形式为 \( U_ i V_ i^\top \)，其中 \( U_ i, V_ i \in \mathbb{R}^{n \times r_ i} \) 是低秩矩阵（\( r_ i \ll n \)）。目标是高效计算修正后矩阵 \( A + \sum_ {i=1}^k U_ i V_ i^\top \) 的逆，而无需直接对大型矩阵求逆。 解题过程 问题分析 直接对修正后的矩阵求逆的时间复杂度为 \( O(n^3) \)，计算成本高昂。 Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式可将满秩矩阵的逆转化为低维矩阵的逆问题，适用于低秩修正场景。 多重低秩修正可视为单次修正的扩展，需将多次修正组合为单次分块修正。 单次SMW公式回顾 对单次修正 \( A + UV^\top \)，SMW公式为： \[ (A + UV^\top)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I + V^\top A^{-1}U)^{-1}V^\top A^{-1}, \] 其中 \( I \) 是 \( r \times r \) 单位矩阵（\( r \) 为修正秩）。计算复杂度从 \( O(n^3) \) 降至 \( O(nr^2 + r^3) \)。 多重低秩修正的合并策略 将 \( k \) 次修正的矩阵 \( U_ i, V_ i \) 水平拼接为分块矩阵： \[ U = [ U_ 1 \mid U_ 2 \mid \cdots \mid U_ k], \quad V = [ V_ 1 \mid V_ 2 \mid \cdots \mid V_ k ], \] 其中 \( U, V \in \mathbb{R}^{n \times r} \)，总修正秩 \( r = \sum_ {i=1}^k r_ i \)。 修正后的矩阵可写为 \( A + UV^\top \)，转化为单次分块修正问题。 应用分块SMW公式 代入SMW公式，关键步骤是计算中间矩阵 \( M = I + V^\top A^{-1}U \in \mathbb{R}^{r \times r} \)。 由于 \( U, V \) 为分块矩阵，\( M \) 可写成分块形式： \[ M = \begin{bmatrix} I_ {r_ 1} + V_ 1^\top A^{-1}U_ 1 & V_ 1^\top A^{-1}U_ 2 & \cdots \\ V_ 2^\top A^{-1}U_ 1 & I_ {r_ 2} + V_ 2^\top A^{-1}U_ 2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}. \] 利用预计算的 \( A^{-1} \)，依次计算每个子块 \( V_ i^\top A^{-1}U_ j \)（复杂度 \( O(r_ i r_ j n) \)），组装成分块矩阵 \( M \)。 求逆与最终计算 对分块矩阵 \( M \) 求逆（复杂度 \( O(r^3) \)），由于 \( r \ll n \)，此步骤高效。 代入公式： \[ (A + UV^\top)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U M^{-1} V^\top A^{-1}, \] 通过矩阵乘法组合结果（复杂度 \( O(n^2 r) \)）。 算法优势与注意事项 优势 ：避免直接处理大型矩阵，复杂度主要依赖于总修正秩 \( r \)。 稳定性 ：当 \( A \) 条件数大或修正导致矩阵接近奇异时，需数值稳定性处理（如正则化）。 扩展性 ：支持动态增删修正项，只需更新分块 \( U, V \) 并重新计算 \( M \)。 总结 通过分块矩阵的拼接与SMW公式的结合，将多重低秩修正的求逆问题转化为低维空间计算，显著提升效率，适用于动态更新的大型线性系统求解。