非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型混合算法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to: g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0 其中 x = (x₁, x₂) ∈ R² 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题，我们将使用综合算法求解。 解题过程： 第一步：算法框架理解 本算法结合了多种技术的优点： 序列二次规划(SQP)提供局部收敛性 积极集法处理约束活动性 乘子法改善约束违反惩罚 过滤器法平衡目标下降和约束可行性 信赖域保证子问题可解性 自适应屏障处理不等式约束 代理模型减少计算成本 第二步：初始化 设初始点 x⁰ = (0, 0) 初始乘子估计 μ⁰ = (1, 1) 初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5 初始屏障参数 τ₀ = 1.0 过滤器 F = ∅（空集） 计算初始函数值： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 约束违反度：h(x⁰) = max(0, g₁(x⁰), g₂(x⁰)) = max(0, 0, -1) = 0 第三步：构建代理模型 在当前点 xᵏ 处，构建二次代理模型： mᵏ(d) = f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd 其中 Bᵏ 是Hessian的近似，初始使用单位矩阵。 计算梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ] ∇f(0,0) = [ 4(-2)³ + 2(0), -4(0)] = [ -32, 0 ] 第四步：构建自适应屏障函数 P(x, μ, τ) = f(x) - τ∑μᵢln(-gᵢ(x)) 屏障函数将不等式约束转化为目标函数中的屏障项。 第五步：求解信赖域子问题 在信赖域半径 Δₖ 内求解二次规划子问题： minimize ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd subject to: gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i=1,2 ∥d∥ ≤ Δₖ 计算约束梯度： ∇g₁(0,0) = [ 2x₁, -1] = [ 0, -1 ] ∇g₂(0,0) = [ 2x₁, 2x₂] = [ 0, 0 ] 第六步：过滤器接受检验 计算试探点 xᵗʳᵢᵃˡ = xᵏ + dᵏ 检查是否被过滤器接受： 如果 (f(xᵗʳᵢᵃˡ), h(xᵗʳᵢᵃˡ)) 不被任何过滤器点支配，则接受 第七步：参数更新 如果接受试探点： 更新 xᵏ⁺¹ = xᵏ + dᵏ 更新乘子估计 μᵏ⁺¹ 调整信赖域半径 Δₖ⁺¹ 更新屏障参数 τₖ⁺¹ 第八步：收敛判断 检查KKT条件的满足程度： ∥∇f(x) + ∑μᵢ∇gᵢ(x)∥ ≤ ε μᵢgᵢ(x) = 0, μᵢ ≥ 0 gᵢ(x) ≤ 0 重复第三到第八步直到收敛。 经过数次迭代后，算法将收敛到近似最优解 x* ≈ (0.7, 0.5)，f(x* ) ≈ 0.2，满足所有约束条件。