分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在多重低秩更新求逆中的应用
字数 2534 2025-11-06 22:52:24

分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在多重低秩更新求逆中的应用

题目描述：
假设我们有一个已知逆矩阵的大型矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，现需对 \(A\) 进行多次连续的低秩更新（每次更新形式为 \(A \leftarrow A + U_i V_i^\top\)，其中 \(U_i, V_i \in \mathbb{R}^{n \times k}\)，且 \(k \ll n\)），并希望高效计算更新后矩阵的逆。传统Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式虽能处理单次低秩更新，但直接应用于多重更新会导致重复计算。本问题要求设计一种基于分块矩阵思想的扩展SMW方法，支持高效处理多重低秩更新。

解题过程：

1. 问题形式化
设初始矩阵 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 已知。经过 \(m\) 次连续低秩更新后，矩阵变为：

\[A_m = A + \sum_{i=1}^m U_i V_i^\top, \]

其中每个 \(U_i, V_i\) 是 \(n \times k_i\) 矩阵（为简化，设 \(k_i = k\)）。目标是在避免直接求逆 \(A_m\) 的前提下，利用 \(A^{-1}\) 和更新信息快速计算 \(A_m^{-1}\)。

2. 单次更新的SMW公式回顾
对单次更新 \(A_1 = A + UV^\top\)，SMW公式给出：

\[A_1^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U (I_k + V^\top A^{-1} U)^{-1} V^\top A^{-1}. \]

关键项是中间的小矩阵 \(M = I_k + V^\top A^{-1} U \in \mathbb{R}^{k \times k}\)，其求逆成本仅 \(O(k^3)\)，远低于直接求逆 \(A_1\) 的 \(O(n^3)\)。

3. 多重更新的分块矩阵构造
将多次更新合并为分块矩阵形式。定义：

\[U = [U_1, U_2, \dots, U_m] \in \mathbb{R}^{n \times mk}, \quad V = [V_1, V_2, \dots, V_m] \in \mathbb{R}^{n \times mk}, \]

则 \(A_m = A + UV^\top\)。此时仍可应用SMW公式，但中间矩阵变为：

\[M = I_{mk} + V^\top A^{-1} U \in \mathbb{R}^{mk \times mk}. \]

直接求逆 \(M\) 的成本为 \(O(m^3 k^3)\)，当 \(m\) 较大时仍昂贵。

4. 分块矩阵的递推更新策略
利用分块矩阵的逆结构，设计递推算法：

  • 初始状态：设 \(B_0 = A^{-1}\)。
  • 第 \(i\) 步更新：当前矩阵 \(A_i = A_{i-1} + U_i V_i^\top\)，已知 \(A_{i-1}^{-1} = B_{i-1}\)。
  • 应用SMW公式：

\[ B_i = B_{i-1} - B_{i-1} U_i (I_k + V_i^\top B_{i-1} U_i)^{-1} V_i^\top B_{i-1}. \]

其中小矩阵 \(M_i = I_k + V_i^\top B_{i-1} U_i\) 的求逆成本为 \(O(k^3)\)，总成本为 \(O(m k^3 + m k^2 n)\)。

5. 分块SMW公式的显式形式
若需显式表达最终逆矩阵，可构造分块矩阵 \(M\) 并利用其分块结构：

\[M = I_{mk} + V^\top A^{-1} U = \begin{bmatrix} I_k + V_1^\top A^{-1} U_1 & V_1^\top A^{-1} U_2 & \cdots \\ V_2^\top A^{-1} U_1 & I_k + V_2^\top A^{-1} U_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}. \]

通过分块矩阵求逆公式或递归块消元，可避免直接对 \(M\) 求逆。例如，按顺序对每个块行进行高斯消元，逐步将 \(M\) 化为块对角矩阵，过程中仅需处理 \(k \times k\) 矩阵的求逆。

6. 算法步骤总结

  1. 输入：\(A^{-1}\)，序列 \(\{(U_i, V_i)\}_{i=1}^m\)。
  2. 初始化：\(B_0 = A^{-1}\)。
  3. 循环更新（\(i = 1\) 到 \(m\)）：
    • 计算 \(W = B_{i-1} U_i\)（\(O(k n^2)\) 矩阵乘法）。
    • 计算 \(M_i = I_k + V_i^\top W\)（\(O(k^2 n)\)）。
    • 求逆 \(M_i^{-1}\)（\(O(k^3)\)）。
    • 更新 \(B_i = B_{i-1} - W M_i^{-1} (V_i^\top B_{i-1})\)（\(O(k n^2)\)）。
  4. 输出：\(B_m = A_m^{-1}\).

总复杂度为 \(O(m k n^2 + m k^2 n + m k^3)\)，优于直接求逆的 \(O(n^3)\)。

7. 应用场景与稳定性

  • 场景：适用于动态网络分析、增量式机器学习、实时控制系统等需频繁更新矩阵逆的场景。
  • 稳定性：当 \(A\) 条件数较大时，数值误差可能累积。可通过定期重置 \(A^{-1}\)（如直接计算当前 \(A_m\) 的逆）或使用高精度运算缓解。
分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在多重低秩更新求逆中的应用 题目描述 ： 假设我们有一个已知逆矩阵的大型矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，现需对 \( A \) 进行多次连续的低秩更新（每次更新形式为 \( A \leftarrow A + U_ i V_ i^\top \)，其中 \( U_ i, V_ i \in \mathbb{R}^{n \times k} \)，且 \( k \ll n \)），并希望高效计算更新后矩阵的逆。传统Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式虽能处理单次低秩更新，但直接应用于多重更新会导致重复计算。本问题要求设计一种基于分块矩阵思想的扩展SMW方法，支持高效处理多重低秩更新。 解题过程 ： 1. 问题形式化 设初始矩阵 \( A \) 的逆 \( A^{-1} \) 已知。经过 \( m \) 次连续低秩更新后，矩阵变为： \[ A_ m = A + \sum_ {i=1}^m U_ i V_ i^\top, \] 其中每个 \( U_ i, V_ i \) 是 \( n \times k_ i \) 矩阵（为简化，设 \( k_ i = k \)）。目标是在避免直接求逆 \( A_ m \) 的前提下，利用 \( A^{-1} \) 和更新信息快速计算 \( A_ m^{-1} \)。 2. 单次更新的SMW公式回顾 对单次更新 \( A_ 1 = A + UV^\top \)，SMW公式给出： \[ A_ 1^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U (I_ k + V^\top A^{-1} U)^{-1} V^\top A^{-1}. \] 关键项是中间的小矩阵 \( M = I_ k + V^\top A^{-1} U \in \mathbb{R}^{k \times k} \)，其求逆成本仅 \( O(k^3) \)，远低于直接求逆 \( A_ 1 \) 的 \( O(n^3) \)。 3. 多重更新的分块矩阵构造 将多次更新合并为分块矩阵形式。定义： \[ U = [ U_ 1, U_ 2, \dots, U_ m] \in \mathbb{R}^{n \times mk}, \quad V = [ V_ 1, V_ 2, \dots, V_ m ] \in \mathbb{R}^{n \times mk}, \] 则 \( A_ m = A + UV^\top \)。此时仍可应用SMW公式，但中间矩阵变为： \[ M = I_ {mk} + V^\top A^{-1} U \in \mathbb{R}^{mk \times mk}. \] 直接求逆 \( M \) 的成本为 \( O(m^3 k^3) \)，当 \( m \) 较大时仍昂贵。 4. 分块矩阵的递推更新策略 利用分块矩阵的逆结构，设计递推算法： 初始状态 ：设 \( B_ 0 = A^{-1} \)。 第 \( i \) 步更新 ：当前矩阵 \( A_ i = A_ {i-1} + U_ i V_ i^\top \)，已知 \( A_ {i-1}^{-1} = B_ {i-1} \)。 应用SMW公式： \[ B_ i = B_ {i-1} - B_ {i-1} U_ i (I_ k + V_ i^\top B_ {i-1} U_ i)^{-1} V_ i^\top B_ {i-1}. \] 其中小矩阵 \( M_ i = I_ k + V_ i^\top B_ {i-1} U_ i \) 的求逆成本为 \( O(k^3) \)，总成本为 \( O(m k^3 + m k^2 n) \)。 5. 分块SMW公式的显式形式 若需显式表达最终逆矩阵，可构造分块矩阵 \( M \) 并利用其分块结构： \[ M = I_ {mk} + V^\top A^{-1} U = \begin{bmatrix} I_ k + V_ 1^\top A^{-1} U_ 1 & V_ 1^\top A^{-1} U_ 2 & \cdots \\ V_ 2^\top A^{-1} U_ 1 & I_ k + V_ 2^\top A^{-1} U_ 2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}. \] 通过分块矩阵求逆公式或递归块消元，可避免直接对 \( M \) 求逆。例如，按顺序对每个块行进行高斯消元，逐步将 \( M \) 化为块对角矩阵，过程中仅需处理 \( k \times k \) 矩阵的求逆。 6. 算法步骤总结 输入 ：\( A^{-1} \)，序列 \( \{(U_ i, V_ i)\}_ {i=1}^m \)。 初始化 ：\( B_ 0 = A^{-1} \)。 循环更新 （\( i = 1 \) 到 \( m \)）： 计算 \( W = B_ {i-1} U_ i \)（\( O(k n^2) \) 矩阵乘法）。 计算 \( M_ i = I_ k + V_ i^\top W \)（\( O(k^2 n) \)）。 求逆 \( M_ i^{-1} \)（\( O(k^3) \)）。 更新 \( B_ i = B_ {i-1} - W M_ i^{-1} (V_ i^\top B_ {i-1}) \)（\( O(k n^2) \)）。 输出 ：\( B_ m = A_ m^{-1} \). 总复杂度为 \( O(m k n^2 + m k^2 n + m k^3) \)，优于直接求逆的 \( O(n^3) \)。 7. 应用场景与稳定性 场景 ：适用于动态网络分析、增量式机器学习、实时控制系统等需频繁更新矩阵逆的场景。 稳定性 ：当 \( A \) 条件数较大时，数值误差可能累积。可通过定期重置 \( A^{-1} \)（如直接计算当前 \( A_ m \) 的逆）或使用高精度运算缓解。