高斯-拉盖尔求积公式在带指数权函数的半无穷积分中的应用

字数 1721 2025-11-06 22:52:24

高斯-拉盖尔求积公式在带指数权函数的半无穷积分中的应用

题目描述
计算半无穷区间积分：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \]

其中被积函数包含指数权函数 \(e^{-x}\)，且 \(f(x)\) 为光滑函数（例如 \(f(x) = \cos(x)\)）。要求利用高斯-拉盖尔求积公式高效计算该积分，并分析节点数与精度的关系。

解题过程

1. 问题分析与公式选择

积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx\)，符合高斯-拉盖尔求积公式的权函数 \(w(x) = e^{-x}\)。
高斯-拉盖尔公式将积分近似为加权和：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]

其中 \(x_i\) 是拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根（求积节点），\(w_i\) 是对应权重。

2. 高斯-拉盖尔公式的构造原理

拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 在 \([0, \infty)\) 上关于权函数 \(e^{-x}\) 正交：

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} L_m(x) L_n(x) dx = \delta_{mn} \]

节点 \(x_i\) 取 \(L_n(x)\) 的 \(n\) 个实根，权重由公式计算：

\[ w_i = \frac{1}{x_i [L_n'(x_i)]^2} \]

或通过标准数值表直接获取。

3. 节点与权重的实际计算

以 \(n=3\) 为例：
- 拉盖尔多项式 \(L_3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)\)。
- 节点 \(x_i\) 为其根（需数值求解）：
  \(x_1 \approx 0.4158, x_2 \approx 2.2943, x_3 \approx 6.2899\)。
- 权重：
  \(w_1 \approx 0.7111, w_2 \approx 0.2785, w_3 \approx 0.01039\)。
实际应用时可直接查询预计算好的节点-权重表，避免重复求解。

4. 积分计算示例（取 \(f(x) = \cos(x)\))

精确积分值：

\[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(x) dx = \frac{1}{2} \]

使用 \(n=3\) 的高斯-拉盖尔公式：

\[ I \approx w_1 \cos(x_1) + w_2 \cos(x_2) + w_3 \cos(x_3) \]

代入数值：

\[ I \approx 0.7111 \times \cos(0.4158) + 0.2785 \times \cos(2.2943) + 0.01039 \times \cos(6.2899) \]

计算得 \(I \approx 0.5252\)，相对误差约 5.04%。

5. 节点数对精度的影响

增加节点数 \(n\) 可提升精度：
- \(n=5\) 时，误差降至约 0.1%；
- \(n=10\) 时，误差可忽略不计。
原因为高斯-拉盖尔公式对 \(2n-1\) 次以下多项式精确积分，且对光滑函数指数收敛。

6. 适用场景与注意事项

适用：被积函数含 \(e^{-x}\) 权函数的半无穷积分，如概率论、核物理衰变模型。
不适用：权函数不匹配（如 \(e^{-x^2}\)）或积分区间有限的情况。
技巧：若积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} g(x) dx\)，可变形为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} [e^{x} g(x)] dx\) 再应用公式，但需注意 \(e^{x} g(x)\) 的增长性。

通过选择合适节点数，高斯-拉盖尔公式可高效计算此类积分，避免直接数值积分的截断误差。

高斯-拉盖尔求积公式在带指数权函数的半无穷积分中的应用题目描述计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \] 其中被积函数包含指数权函数 \( e^{-x} \)，且 \( f(x) \) 为光滑函数（例如 \( f(x) = \cos(x) \)）。要求利用高斯-拉盖尔求积公式高效计算该积分，并分析节点数与精度的关系。解题过程 1. 问题分析与公式选择积分形式为 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \)，符合高斯-拉盖尔求积公式的权函数 \( w(x) = e^{-x} \)。高斯-拉盖尔公式将积分近似为加权和： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根（求积节点），\( w_ i \) 是对应权重。 2. 高斯-拉盖尔公式的构造原理拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 在 \( [ 0, \infty)\) 上关于权函数 \( e^{-x} \) 正交： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} L_ m(x) L_ n(x) dx = \delta_ {mn} \] 节点 \( x_ i \) 取 \( L_ n(x) \) 的 \( n \) 个实根，权重由公式计算： \[ w_ i = \frac{1}{x_ i [ L_ n'(x_ i) ]^2} \] 或通过标准数值表直接获取。 3. 节点与权重的实际计算以 \( n=3 \) 为例：拉盖尔多项式 \( L_ 3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) \)。节点 \( x_ i \) 为其根（需数值求解）： \( x_ 1 \approx 0.4158, x_ 2 \approx 2.2943, x_ 3 \approx 6.2899 \)。权重： \( w_ 1 \approx 0.7111, w_ 2 \approx 0.2785, w_ 3 \approx 0.01039 \)。实际应用时可直接查询预计算好的节点-权重表，避免重复求解。 4. 积分计算示例（取 \( f(x) = \cos(x) \)) 精确积分值： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cos(x) dx = \frac{1}{2} \] 使用 \( n=3 \) 的高斯-拉盖尔公式： \[ I \approx w_ 1 \cos(x_ 1) + w_ 2 \cos(x_ 2) + w_ 3 \cos(x_ 3) \] 代入数值： \[ I \approx 0.7111 \times \cos(0.4158) + 0.2785 \times \cos(2.2943) + 0.01039 \times \cos(6.2899) \] 计算得 \( I \approx 0.5252 \)，相对误差约 5.04%。 5. 节点数对精度的影响增加节点数 \( n \) 可提升精度： \( n=5 \) 时，误差降至约 0.1%； \( n=10 \) 时，误差可忽略不计。原因为高斯-拉盖尔公式对 \( 2n-1 \) 次以下多项式精确积分，且对光滑函数指数收敛。 6. 适用场景与注意事项适用：被积函数含 \( e^{-x} \) 权函数的半无穷积分，如概率论、核物理衰变模型。不适用：权函数不匹配（如 \( e^{-x^2} \)）或积分区间有限的情况。技巧：若积分形式为 \( \int_ {0}^{\infty} g(x) dx \)，可变形为 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} [ e^{x} g(x) ] dx \) 再应用公式，但需注意 \( e^{x} g(x) \) 的增长性。通过选择合适节点数，高斯-拉盖尔公式可高效计算此类积分，避免直接数值积分的截断误差。