列生成算法在电信网络容量扩展问题中的应用示例 题目描述： 假设某电信公司需要扩展其网络容量以满足未来需求。网络由多个节点和链路组成，每条链路有现有的容量和扩展成本。需求以节点对之间的流量形式给出。目标是以最小总成本扩展链路容量，使得所有流量需求都能被路由，且不超过扩展后的链路容量。 具体参数： 链路集合 E，每条链路 e 有现有容量 c_ e 和单位扩展成本 w_ e 需求集合 D，每个需求 d 有源节点 s_ d、目标节点 t_ d 和流量值 r_ d 决策变量：每条链路的容量扩展量 x_ e，以及每个需求在每条链路上的流量分配 解题过程： 第一步：建立主问题模型 主问题是最小化总扩展成本，满足流量守恒和容量约束： min Σ_ {e∈E} w_ e x_ e s.t. 流量守恒：每个需求 d 的流量在源节点发出、目标节点接收，中间节点流入等于流出 容量约束：每条链路 e 上的总流量不超过现有容量加扩展容量 非负约束：x_ e ≥ 0，流量变量 ≥ 0 第二步：识别问题的结构特点 这是一个多商品流问题，直接求解可能很复杂，因为变量数量随需求和链路数量快速增长。列生成将每个需求的路径选择作为"列"，通过定价子问题生成有前景的新路径。 第三步：构建限制主问题(RMP) 初始RMP只包含每个需求的少量路径（如最短路径）。设 P_ d 为需求 d 的路径集合，变量 y_ {dp} 表示需求 d 在路径 p 上的流量： min Σ_ {e∈E} w_ e x_ e s.t. Σ_ {p∈P_ d} y_ {dp} = r_ d, ∀d ∈ D (满足每个需求的总流量) Σ_ {d∈D} Σ_ {p∈P_ d: e∈p} y_ {dp} ≤ c_ e + x_ e, ∀e ∈ E (链路容量约束) y_ {dp} ≥ 0, x_ e ≥ 0 第四步：定价子问题 求解RMP得到对偶变量： π_ d：对应每个需求约束的对偶变量 λ_ e：对应每条链路容量约束的对偶变量（λ_ e ≤ 0） 对于每个需求 d，定价子问题是在网络上找一条路径 p，使得减少成本为负： min_ {p∈所有可能路径} Σ_ {e∈p} (-λ_ e) - π_ d 由于 λ_ e ≤ 0，-λ_ e ≥ 0，这等价于在边上赋予权重 -λ_ e，找从 s_ d 到 t_ d 的最短路径。如果最短路径长度 < π_ d，则找到的新列可以加入RMP。 第五步：迭代过程 求解当前RMP，得到对偶变量 对每个需求 d，求解最短路径子问题 如果所有需求的最短路径长度都 ≥ π_ d，当前解最优 否则，将减少成本为负的路径加入对应需求的 P_ d，更新RMP 重复直到无负减少成本路径 第六步：实际应用考虑 在实际电信网络中，可能需要考虑： 路径长度限制（跳数限制） 负载均衡要求 多种技术选项的容量扩展 这些问题可以通过修改定价子问题来处理，如加入约束或考虑多种扩展选项。 通过列生成，我们避免了枚举所有可能路径，而是逐步添加有价值的路径，有效求解大规模网络容量扩展问题。