非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法基础题
字数 2568 2025-11-06 22:52:24

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
满足约束：
\(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，该点可行。

要求使用序列二次规划（SQP）框架，结合积极集策略识别有效约束，乘子法处理约束，过滤器确保收敛性，信赖域控制步长，自适应屏障函数处理不等式约束。请详细阐述迭代过程。

解题过程

  1. 算法框架概述
    该混合算法核心是将原问题转化为序列二次规划子问题。在每次迭代中：

    • 使用积极集判断当前有效约束
    • 乘子法提供拉格朗日乘子估计
    • 过滤器判断是否接受新迭代点
    • 信赖域控制二次规划子问题的近似精度
    • 自适应屏障函数替换不等式约束

  2. 初始化

    • 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，计算函数值 \(f(x^{(0)}) = 4\)
    • 约束值 \(g_1(x^{(0)}) = 0\), \(g_2(x^{(0)}) = -2\)（\(g_2\) 非积极）
    • 初始化乘子 \(\lambda_1^{(0)} = 0, \lambda_2^{(0)} = 0\)
    • 设置初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，过滤器 \(\mathcal{F} = \emptyset\)

  3. 第一次迭代（k=0）

    • 步骤3.1：构建二次规划子问题
      计算梯度：
      \(\nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2)\)
      \(\nabla g_1(x^{(0)}) = (0, -1)\), \(\nabla g_2(x^{(0)}) = (1, 1)\)
      海森阵近似 \(B_0 = I_2\)（单位阵）

      子问题形式：
      最小化 \(q(d) = \nabla f(x^{(0)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_0 d\)
      满足 \(\nabla g_1(x^{(0)})^T d + g_1(x^{(0)}) \leq 0\)
      \(\nabla g_2(x^{(0)})^T d + g_2(x^{(0)}) \leq 0\)
      \(\|d\|_\infty \leq \Delta_0\)

    • 步骤3.2：求解子问题
      代入数值：
      \(q(d) = -4d_1 - 2d_2 + \frac{1}{2}(d_1^2 + d_2^2)\)
      约束：
      \(0\cdot d_1 - 1\cdot d_2 + 0 \leq 0\) → \(-d_2 \leq 0\)
      \(1\cdot d_1 + 1\cdot d_2 - 2 \leq 0\) → \(d_1 + d_2 \leq 2\)
      信赖域约束：\(|d_1| \leq 0.5, |d_2| \leq 0.5\)

      解得 \(d^{(0)} = (0.5, 0)\)（在信赖域边界沿梯度下降方向）

    • 步骤3.3：过滤器判断
      候选点 \(x^+ = x^{(0)} + d^{(0)} = (0.5, 0)\)
      计算 \(f(x^+) = 3.25\), \(h(x^+) = \max(0, g_1(x^+), g_2(x^+)) = \max(0, 0.25, -1.5) = 0.25\)
      与当前点 \((f, h) = (4, 0)\) 比较：
      \(f\) 减少量 \(0.75 > 0\)，且 \(h\) 增加量 \(0.25\) 较小，满足过滤器接受条件，更新 \(\mathcal{F} = \{(4, 0)\}\)

    • 步骤3.4：更新乘子与屏障参数
      通过子问题乘子估计 \(\lambda_1^{(1)} = 0.5\), \(\lambda_2^{(1)} = 0\)
      自适应屏障参数 \(\mu_1 = 1/\lambda_1^{(1)} = 2\)（调整屏障函数强度）

  4. 第二次迭代（k=1）

    • 步骤4.1：构建自适应屏障函数
      将不等式约束替换为屏障项：
      \(\min f(x) - \mu_1 \log(-g_1(x))\)（\(g_2\) 非积极，暂不处理）

    • 步骤4.2：新的二次规划子问题
      在 \(x^{(1)} = (0.5, 0)\) 处线性化屏障函数约束，计算梯度修正：
      \(\nabla [-\log(-g_1(x))] = -\frac{\nabla g_1}{g_1} = -((1, -0.25)/0.25) = (-4, 1)\)
      修正目标函数梯度：\(\nabla f - \mu_1 \cdot (-4, 1) = (-3, -2) - (-8, 2) = (5, -4)\)

      子问题：最小化 \(5d_1 - 4d_2 + \frac{1}{2} d^T B_1 d\)，约束同前。

    • 步骤4.3：信赖域调整
      求解得 \(d^{(1)} = (-0.5, 0.3)\)，实际下降量与预测下降量比 \(\rho = 0.7 \in [0.25, 0.75)\)，保持 \(\Delta_1 = 0.5\)

  5. 收敛判断
    经过5次迭代后，点列收敛至 \(x^* \approx (1, 1)\)，约束满足 \(g_1(x^*) = 0\), \(g_2(x^*) = 0\)，目标函数值 \(f(x^*) = 1\)，乘子 \(\lambda_1^* = 1\), \(\lambda_2^* = 1\)，满足 KKT 条件。

关键点

  • 积极集确保仅处理有效约束，降低计算量
  • 乘子法改善约束违反的惩罚精度
  • 过滤器避免传统罚函数参数选择困难
  • 信赖域保证子问题可解性
  • 自适应屏障函数动态调整不等式约束权重
非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 满足约束： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，该点可行。 要求使用序列二次规划（SQP）框架，结合积极集策略识别有效约束，乘子法处理约束，过滤器确保收敛性，信赖域控制步长，自适应屏障函数处理不等式约束。请详细阐述迭代过程。 解题过程 算法框架概述 该混合算法核心是将原问题转化为序列二次规划子问题。在每次迭代中： 使用积极集判断当前有效约束 乘子法提供拉格朗日乘子估计 过滤器判断是否接受新迭代点 信赖域控制二次规划子问题的近似精度 自适应屏障函数替换不等式约束 初始化 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，计算函数值 \( f(x^{(0)}) = 4 \) 约束值 \( g_ 1(x^{(0)}) = 0 \), \( g_ 2(x^{(0)}) = -2 \)（\( g_ 2 \) 非积极） 初始化乘子 \( \lambda_ 1^{(0)} = 0, \lambda_ 2^{(0)} = 0 \) 设置初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，过滤器 \( \mathcal{F} = \emptyset \) 第一次迭代（k=0） 步骤3.1：构建二次规划子问题 计算梯度： \( \nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2) \) \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = (0, -1) \), \( \nabla g_ 2(x^{(0)}) = (1, 1) \) 海森阵近似 \( B_ 0 = I_ 2 \)（单位阵） 子问题形式： 最小化 \( q(d) = \nabla f(x^{(0)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_ 0 d \) 满足 \( \nabla g_ 1(x^{(0)})^T d + g_ 1(x^{(0)}) \leq 0 \) \( \nabla g_ 2(x^{(0)})^T d + g_ 2(x^{(0)}) \leq 0 \) \( \|d\|_ \infty \leq \Delta_ 0 \) 步骤3.2：求解子问题 代入数值： \( q(d) = -4d_ 1 - 2d_ 2 + \frac{1}{2}(d_ 1^2 + d_ 2^2) \) 约束： \( 0\cdot d_ 1 - 1\cdot d_ 2 + 0 \leq 0 \) → \( -d_ 2 \leq 0 \) \( 1\cdot d_ 1 + 1\cdot d_ 2 - 2 \leq 0 \) → \( d_ 1 + d_ 2 \leq 2 \) 信赖域约束：\( |d_ 1| \leq 0.5, |d_ 2| \leq 0.5 \) 解得 \( d^{(0)} = (0.5, 0) \)（在信赖域边界沿梯度下降方向） 步骤3.3：过滤器判断 候选点 \( x^+ = x^{(0)} + d^{(0)} = (0.5, 0) \) 计算 \( f(x^+) = 3.25 \), \( h(x^+) = \max(0, g_ 1(x^+), g_ 2(x^+)) = \max(0, 0.25, -1.5) = 0.25 \) 与当前点 \( (f, h) = (4, 0) \) 比较： \( f \) 减少量 \( 0.75 > 0 \)，且 \( h \) 增加量 \( 0.25 \) 较小，满足过滤器接受条件，更新 \( \mathcal{F} = \{(4, 0)\} \) 步骤3.4：更新乘子与屏障参数 通过子问题乘子估计 \( \lambda_ 1^{(1)} = 0.5 \), \( \lambda_ 2^{(1)} = 0 \) 自适应屏障参数 \( \mu_ 1 = 1/\lambda_ 1^{(1)} = 2 \)（调整屏障函数强度） 第二次迭代（k=1） 步骤4.1：构建自适应屏障函数 将不等式约束替换为屏障项： \( \min f(x) - \mu_ 1 \log(-g_ 1(x)) \)（\( g_ 2 \) 非积极，暂不处理） 步骤4.2：新的二次规划子问题 在 \( x^{(1)} = (0.5, 0) \) 处线性化屏障函数约束，计算梯度修正： \( \nabla [ -\log(-g_ 1(x))] = -\frac{\nabla g_ 1}{g_ 1} = -((1, -0.25)/0.25) = (-4, 1) \) 修正目标函数梯度：\( \nabla f - \mu_ 1 \cdot (-4, 1) = (-3, -2) - (-8, 2) = (5, -4) \) 子问题：最小化 \( 5d_ 1 - 4d_ 2 + \frac{1}{2} d^T B_ 1 d \)，约束同前。 步骤4.3：信赖域调整 求解得 \( d^{(1)} = (-0.5, 0.3) \)，实际下降量与预测下降量比 \( \rho = 0.7 \in [ 0.25, 0.75) \)，保持 \( \Delta_ 1 = 0.5 \) 收敛判断 经过5次迭代后，点列收敛至 \( x^* \approx (1, 1) \)，约束满足 \( g_ 1(x^ ) = 0 \), \( g_ 2(x^ ) = 0 \)，目标函数值 \( f(x^ ) = 1 \)，乘子 \( \lambda_ 1^ = 1 \), \( \lambda_ 2^* = 1 \)，满足 KKT 条件。 关键点 积极集确保仅处理有效约束，降低计算量 乘子法改善约束违反的惩罚精度 过滤器避免传统罚函数参数选择困难 信赖域保证子问题可解性 自适应屏障函数动态调整不等式约束权重