切棍子的最小成本问题（进阶版） 题目描述 给定一根长度为 n 单位的木棍，以及一个整数数组 cuts，其中 cuts[ i ] 表示你需要在木棍上的某个位置进行切割。你可以按任何顺序执行切割。每次切割的成本等于当前要切割的木棍的长度。你的目标是确定进行所有切割（每次切割顺序由你决定）所需的最小总成本。 例如，假设木棍长度 n = 7，需要切割的位置为 cuts = [ 1, 3, 4, 5 ]（这些位置是从木棍左端开始计算的）。 一种切割顺序的成本可能如下： 首先在位置 3 切割，成本为 7（当前木棍长度）。 然后在位置 5 切割（此时有两段木棍：0-3 和 3-7。选择在位置 5 切割，它属于 3-7 这段），成本为 4（木棍 3-7 的长度）。 接着在位置 1 切割（属于 0-3 这段），成本为 3。 最后在位置 4 切割（属于 3-5 这段），成本为 2。 总成本 = 7 + 4 + 3 + 2 = 16。 但可能存在总成本更低的切割顺序。 解题过程 问题分析与重新定义 这个问题可以看作是一个区间划分问题。每次切割都会将当前的一段木棍分成两段。关键在于，切割的成本取决于当前这段木棍的长度，而与之前的历史成本无关。这提示我们可以使用区间动态规划，状态 dp[i][j] 可以定义为完成某一段木棍上所有指定切割所需的最小成本。 为了便于处理，我们首先对给定的切割位置数组 cuts 进行扩展。我们在数组的开头加入 0，在数组的末尾加入木棍的总长度 n 。然后对这个扩展后的数组进行排序。这样，排序后的数组中的每个相邻元素就定义了一个“原始”的木棍段。我们的切割操作实际上是在这些相邻元素定义的区间内进行的。 设扩展并排序后的数组为 c ，长度为 m （ m = len(cuts) + 2 ）。那么 c[0] = 0 , c[m-1] = n 。 现在，我们的问题转化为：在由点 c[0], c[1], ..., c[m-1] 构成的“虚拟”木棍上，我们需要在除了两端点 ( c[0] 和 c[m-1] ) 之外的所有内部点 ( c[1] 到 c[m-2] ) 上进行切割。每次切割的成本是当前操作的这段木棍的长度（即 c[j] - c[i] ）。目标是求最小总成本。 注意：实际上我们并不真的去切 c[0] 和 c[m-1] ，它们只是边界。我们切割的是 c[1] 到 c[m-2] 这些点，每次切割都会将一个大区间分成两个小区间。 定义动态规划状态 令 dp[i][j] 表示在由点 c[i] 和 c[j] 定义的木棍段上（即从位置 c[i] 到位置 c[j] 的这一段），完成所有位于 c[i] 和 c[j] 之间的切割点（即 c[i+1], c[i+2], ..., c[j-1] ）所需的最小成本。 这里， i 和 j 是扩展排序后数组 c 的索引，并且满足 0 <= i < j < m 。我们的最终目标是求解 dp[0][m-1] ，即在整根木棍 ( c[0] 到 c[m-1] ) 上完成所有内部切割点的最小成本。 状态转移方程 考虑如何计算 dp[i][j] 。如果在这个区间 (c[i], c[j]) 内部没有任何需要切割的点，即 j == i + 1 ，那么就不需要进行任何切割，成本为 0。 如果内部有切割点（即 j > i + 1 ），我们需要选择第一个切割点 k （ i < k < j ）。选择在 c[k] 进行第一次切割。 这次切割的成本是当前木棍段的长度： c[j] - c[i] 。 切割之后，原木棍段 (c[i], c[j]) 被分成了两个子段： (c[i], c[k]) 和 (c[k], c[j]) 。 接下来，我们需要分别完成这两个子段上的所有切割。根据定义，完成左子段 (c[i], c[k]) 上所有切割的最小成本是 dp[i][k] ，完成右子段 (c[k], c[j]) 上所有切割的最小成本是 dp[k][j] 。 因此，如果我们选择 c[k] 作为第一个切割点，总成本为： cost = (c[j] - c[i]) + dp[i][k] + dp[k][j] 由于我们可以自由选择第一个切割点 k （ k 可以是 i+1 到 j-1 之间的任何一个索引），为了得到最小总成本，我们需要遍历所有可能的 k ，并取最小值： dp[i][j] = min( for k in range(i+1, j): (c[j] - c[i]) + dp[i][k] + dp[k][j] ) 特殊情况：当 j == i + 1 时，区间内没有切割点， dp[i][j] = 0 。 确定计算顺序 观察状态转移方程，要计算 dp[i][j] ，我们需要用到 dp[i][k] 和 dp[k][j] ，其中 i < k < j 。这意味着我们需要计算的是长度更小的区间。 因此，我们应该按照区间长度 L = j - i 从小到大的顺序进行计算。 首先初始化所有长度为 1 的区间（即 j = i+1 ）， dp[i][i+1] = 0 。 然后计算长度为 2 的区间（ j = i+2 ），接着是长度为 3 的区间（ j = i+3 ），...，直到计算出长度为 m-1 的区间 dp[0][m-1] 。 示例计算（n=7, cuts=[ 1,3,4,5]） 扩展并排序 cuts: 加入 0 和 7，排序后得到 c = [0, 1, 3, 4, 5, 7] 。 m = 6 。 目标：计算 dp[0][5] 。 初始化 ：所有 j == i+1 的区间，成本为 0。 dp[0][1]=0 , dp[1][2]=0 , dp[2][3]=0 , dp[3][4]=0 , dp[4][5]=0 。 计算长度为2的区间 (L=2, 即 j = i+2) ： dp[0][2] : 区间 (0, 3)，内部切割点 k 只能是 1。 cost = (3-0) + dp[0][1] + dp[1][2] = 3 + 0 + 0 = 3 dp[1][3] : 区间 (1, 4)，内部切割点 k 只能是 2。 cost = (4-1) + dp[1][2] + dp[2][3] = 3 + 0 + 0 = 3 dp[2][4] : 区间 (3, 5)，内部切割点 k 只能是 3。 cost = (5-3) + dp[2][3] + dp[3][4] = 2 + 0 + 0 = 2 dp[3][5] : 区间 (4, 7)，内部切割点 k 只能是 4。 cost = (7-4) + dp[3][4] + dp[4][5] = 3 + 0 + 0 = 3 计算长度为3的区间 (L=3, 即 j = i+3) ： dp[0][3] : 区间 (0, 4)，内部切割点 k 可以是 1 或 2。 k=1: cost = (4-0) + dp[0][1] + dp[1][3] = 4 + 0 + 3 = 7 k=2: cost = (4-0) + dp[0][2] + dp[2][3] = 4 + 3 + 0 = 7 dp[0][3] = min(7, 7) = 7 dp[1][4] : 区间 (1, 5)，内部切割点 k 可以是 2 或 3。 k=2: cost = (5-1) + dp[1][2] + dp[2][4] = 4 + 0 + 2 = 6 k=3: cost = (5-1) + dp[1][3] + dp[3][4] = 4 + 3 + 0 = 7 dp[1][4] = min(6, 7) = 6 dp[2][5] : 区间 (3, 7)，内部切割点 k 可以是 3 或 4。 k=3: cost = (7-3) + dp[2][3] + dp[3][5] = 4 + 0 + 3 = 7 k=4: cost = (7-3) + dp[2][4] + dp[4][5] = 4 + 2 + 0 = 6 dp[2][5] = min(7, 6) = 6 计算长度为4的区间 (L=4, 即 j = i+4) ： dp[0][4] : 区间 (0, 5)，内部切割点 k 可以是 1, 2, 3。 k=1: cost = (5-0) + dp[0][1] + dp[1][4] = 5 + 0 + 6 = 11 k=2: cost = (5-0) + dp[0][2] + dp[2][4] = 5 + 3 + 2 = 10 k=3: cost = (5-0) + dp[0][3] + dp[3][4] = 5 + 7 + 0 = 12 dp[0][4] = min(11, 10, 12) = 10 dp[1][5] : 区间 (1, 7)，内部切割点 k 可以是 2, 3, 4。 k=2: cost = (7-1) + dp[1][2] + dp[2][5] = 6 + 0 + 6 = 12 k=3: cost = (7-1) + dp[1][3] + dp[3][5] = 6 + 3 + 3 = 12 k=4: cost = (7-1) + dp[1][4] + dp[4][5] = 6 + 6 + 0 = 12 dp[1][5] = min(12, 12, 12) = 12 计算最终目标，长度为5的区间 (L=5, 即 j = i+5) ： dp[0][5] : 区间 (0, 7)，内部切割点 k 可以是 1, 2, 3, 4。 k=1: cost = (7-0) + dp[0][1] + dp[1][5] = 7 + 0 + 12 = 19 k=2: cost = (7-0) + dp[0][2] + dp[2][5] = 7 + 3 + 6 = 16 k=3: cost = (7-0) + dp[0][3] + dp[3][5] = 7 + 7 + 3 = 17 k=4: cost = (7-0) + dp[0][4] + dp[4][5] = 7 + 10 + 0 = 17 dp[0][5] = min(19, 16, 17, 17) = 16 因此，最小总成本为 16。 算法复杂度 时间复杂度：我们需要计算 O(m²) 个状态，其中 m 是扩展后切割点数组的长度 ( m = len(cuts) + 2 )。计算每个状态 dp[i][j] 需要遍历 i 和 j 之间的所有 k ，最多有 O(m) 个选择。因此总时间复杂度为 O(m³)。 空间复杂度：我们需要一个大小为 O(m²) 的二维数组来存储 dp 状态。