复合梯形公式的误差分析与步长优化
字数 2150 2025-11-06 12:40:04

复合梯形公式的误差分析与步长优化

题目描述
考虑定积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，其中函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上足够光滑（例如具有连续的二阶导数）。使用复合梯形公式计算该积分的近似值。要求分析复合梯形公式的截断误差，并基于误差分析给出如何选择子区间数量 \(n\)（或步长 \(h = \frac{b-a}{n}\)），使得近似积分值达到预设的精度要求 \(\epsilon\)。

解题过程

  1. 复合梯形公式的构造
    首先将积分区间 \([a, b]\) 划分为 \(n\) 个等宽的子区间，步长 \(h = \frac{b-a}{n}\)，节点为 \(x_i = a + i h\)（\(i = 0, 1, \dots, n\)）。在每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上应用梯形公式，然后将结果求和：

\[ T_n = h \left[ \frac{f(a)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{f(b)}{2} \right] \]

这就是复合梯形公式。其几何意义是用一系列梯形面积之和来逼近曲边梯形的面积。

  1. 局部误差分析
    考虑单个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上的梯形公式误差。设 \(I_i = \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx\)，梯形公式近似为 \(T_i = \frac{h}{2} [f(x_{i-1}) + f(x_i)]\)。利用积分中值定理或泰勒展开，可以推导出局部截断误差：

\[ E_i = I_i - T_i = -\frac{f''(\xi_i)}{12} h^3 \]

其中 \(\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)\)。推导要点：在子区间中点展开 \(f(x)\) 为泰勒级数，积分后与梯形公式比较，利用罗尔定理得到误差项。

  1. 全局误差分析
    整体积分误差是各子区间误差之和：

\[ E_n = I - T_n = \sum_{i=1}^n E_i = -\frac{h^3}{12} \sum_{i=1}^n f''(\xi_i) \]

由于 \(f''(x)\) 连续，根据介值定理，存在 \(\eta \in (a, b)\) 使得：

\[ \sum_{i=1}^n f''(\xi_i) = n f''(\eta) \]

代入 \(n = \frac{b-a}{h}\)，得到全局误差：

\[ E_n = -\frac{(b-a) f''(\eta)}{12} h^2 \]

因此，复合梯形公式的误差阶为 \(O(h^2)\)，即当步长减半时，误差大致缩小为四分之一。

  1. 步长选择策略
    设预设精度要求为 \(\epsilon > 0\)，即要求 \(|E_n| \leq \epsilon\)。由误差公式：

\[ |E_n| \approx \frac{(b-a) M}{12} h^2 \leq \epsilon \]

其中 \(M = \max_{x \in [a, b]} |f''(x)|\)。解出步长 \(h\) 需满足：

\[ h \leq \sqrt{\frac{12 \epsilon}{(b-a) M}} \]

进而子区间数 \(n = \frac{b-a}{h}\) 应满足：

\[ n \geq \sqrt{\frac{(b-a)^3 M}{12 \epsilon}} \]

实际操作中，若 \(M\) 未知，可采用自适应策略：从较小的 \(n\) 开始计算 \(T_n\)，然后倍增 \(n\) 计算 \(T_{2n}\)，直到相邻两次近似值的差 \(|T_{2n} - T_n|\) 小于 \(\epsilon\)（注意误差与差值的关系为 \(|E_n| \approx \frac{|T_{2n} - T_n|}{3}\)，因 \(T_{2n}\) 误差约为 \(T_n\) 的 1/4）。

  1. 数值验证示例
    以 \(\int_0^1 e^{-x^2} dx\) 为例，\(f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}\)，在 \([0,1]\) 上 \(|f''(x)| \leq 2\)。若要求 \(\epsilon = 10^{-6}\)，则：

\[ h \leq \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{1 \times 2}} \approx 0.00245, \quad n \geq 408 \]

实际计算中可取 \(n = 500\) 确保精度。通过计算 \(T_n\) 与 \(T_{2n}\) 的差值可验证精度是否达标。

通过以上步骤，我们系统分析了复合梯形公式的误差，并给出了步长优化的实用方法。

复合梯形公式的误差分析与步长优化 题目描述 考虑定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上足够光滑（例如具有连续的二阶导数）。使用复合梯形公式计算该积分的近似值。要求分析复合梯形公式的截断误差，并基于误差分析给出如何选择子区间数量 \( n \)（或步长 \( h = \frac{b-a}{n} \)），使得近似积分值达到预设的精度要求 \( \epsilon \)。 解题过程 复合梯形公式的构造 首先将积分区间 \([ a, b]\) 划分为 \( n \) 个等宽的子区间，步长 \( h = \frac{b-a}{n} \)，节点为 \( x_ i = a + i h \)（\( i = 0, 1, \dots, n \)）。在每个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i ]\) 上应用梯形公式，然后将结果求和： \[ T_ n = h \left[ \frac{f(a)}{2} + f(x_ 1) + f(x_ 2) + \dots + f(x_ {n-1}) + \frac{f(b)}{2} \right ] \] 这就是复合梯形公式。其几何意义是用一系列梯形面积之和来逼近曲边梯形的面积。 局部误差分析 考虑单个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\) 上的梯形公式误差。设 \( I_ i = \int_ {x_ {i-1}}^{x_ i} f(x) \, dx \)，梯形公式近似为 \( T_ i = \frac{h}{2} [ f(x_ {i-1}) + f(x_ i) ] \)。利用积分中值定理或泰勒展开，可以推导出局部截断误差： \[ E_ i = I_ i - T_ i = -\frac{f''(\xi_ i)}{12} h^3 \] 其中 \( \xi_ i \in (x_ {i-1}, x_ i) \)。推导要点：在子区间中点展开 \( f(x) \) 为泰勒级数，积分后与梯形公式比较，利用罗尔定理得到误差项。 全局误差分析 整体积分误差是各子区间误差之和： \[ E_ n = I - T_ n = \sum_ {i=1}^n E_ i = -\frac{h^3}{12} \sum_ {i=1}^n f''(\xi_ i) \] 由于 \( f''(x) \) 连续，根据介值定理，存在 \( \eta \in (a, b) \) 使得： \[ \sum_ {i=1}^n f''(\xi_ i) = n f''(\eta) \] 代入 \( n = \frac{b-a}{h} \)，得到全局误差： \[ E_ n = -\frac{(b-a) f''(\eta)}{12} h^2 \] 因此，复合梯形公式的误差阶为 \( O(h^2) \)，即当步长减半时，误差大致缩小为四分之一。 步长选择策略 设预设精度要求为 \( \epsilon > 0 \)，即要求 \( |E_ n| \leq \epsilon \)。由误差公式： \[ |E_ n| \approx \frac{(b-a) M}{12} h^2 \leq \epsilon \] 其中 \( M = \max_ {x \in [ a, b ]} |f''(x)| \)。解出步长 \( h \) 需满足： \[ h \leq \sqrt{\frac{12 \epsilon}{(b-a) M}} \] 进而子区间数 \( n = \frac{b-a}{h} \) 应满足： \[ n \geq \sqrt{\frac{(b-a)^3 M}{12 \epsilon}} \] 实际操作中，若 \( M \) 未知，可采用自适应策略：从较小的 \( n \) 开始计算 \( T_ n \)，然后倍增 \( n \) 计算 \( T_ {2n} \)，直到相邻两次近似值的差 \( |T_ {2n} - T_ n| \) 小于 \( \epsilon \)（注意误差与差值的关系为 \( |E_ n| \approx \frac{|T_ {2n} - T_ n|}{3} \)，因 \( T_ {2n} \) 误差约为 \( T_ n \) 的 1/4）。 数值验证示例 以 \( \int_ 0^1 e^{-x^2} dx \) 为例，\( f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2} \)，在 \([ 0,1 ]\) 上 \( |f''(x)| \leq 2 \)。若要求 \( \epsilon = 10^{-6} \)，则： \[ h \leq \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{1 \times 2}} \approx 0.00245, \quad n \geq 408 \] 实际计算中可取 \( n = 500 \) 确保精度。通过计算 \( T_ n \) 与 \( T_ {2n} \) 的差值可验证精度是否达标。 通过以上步骤，我们系统分析了复合梯形公式的误差，并给出了步长优化的实用方法。