其中 $ T_C(\theta_t) $ 是 $ C $ 在 $ \theta_t $ 处的切锥。对于简单约束（如球面约束），可直接计算投影梯度。  

 这里先沿投影梯度方向更新，再将结果投影回可行域 $ C $。

深度学习中优化器的SGD with Gradient Projection（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节 题目描述： SGD with Gradient Projection 是一种改进的随机梯度下降算法，核心思想是在参数更新前对梯度进行投影操作，将梯度约束在可行域内。这种方法特别适用于求解带约束的优化问题（如参数需满足球面约束、非负约束等），或在训练中保持参数的理论性质（如概率分布的归一化约束）。与传统梯度裁剪直接缩放梯度不同，梯度投影通过数学投影将梯度映射到约束空间的切平面，确保更新后的参数仍满足约束条件。 解题过程： 问题建模 假设需要最小化损失函数 \( L(\theta) \)，且参数 \( \theta \) 需满足约束条件 \( \theta \in C \)，其中 \( C \) 是可行域（例如 \( \|\theta\| 2 \leq 1 \)）。目标转化为求解带约束优化问题： \[ \min {\theta \in C} L(\theta) \] 直接使用SGD更新 \( \theta_ {t+1} = \theta_ t - \eta \nabla L(\theta_ t) \) 可能破坏约束，需引入投影步骤。 投影操作定义 投影函数 \( \Pi_ C \) 将任意参数 \( \theta \) 映射到可行域 \( C \) 中距离最近的点： \[ \Pi_ C(\theta) = \arg\min_ {z \in C} \|z - \theta\|_ 2^2 \] 例如，若 \( C = \{\theta \mid \|\theta\|_ 2 \leq 1\} \)，则投影为 \( \Pi_ C(\theta) = \frac{\theta}{\max(1, \|\theta\|_ 2)} \)。 梯度投影算法步骤 步骤1：计算当前梯度 在迭代 \( t \) 时，采样小批量数据计算梯度 \( g_ t = \nabla L(\theta_ t) \)。 步骤2：投影梯度到切空间 若约束空间 \( C \) 是凸集，先将梯度投影到 \( \theta_ t \) 处切空间： \[ \tilde{g} t = P {T_ C(\theta_ t)}(g_ t) \] 其中 \( T_ C(\theta_ t) \) 是 \( C \) 在 \( \theta_ t \) 处的切锥。对于简单约束（如球面约束），可直接计算投影梯度。 步骤3：更新参数 使用投影后的梯度更新参数： \[ \theta_ {t+1} = \Pi_ C(\theta_ t - \eta \tilde{g}_ t) \] 这里先沿投影梯度方向更新，再将结果投影回可行域 \( C \)。 实例：球面约束的投影梯度下降 若约束为 \( \|\theta\|_ 2 = 1 \)，则投影梯度计算为： \[ \tilde{g} t = (I - \theta_ t \theta_ t^T) g_ t \] 此操作移除梯度在 \( \theta_ t \) 方向的分量，确保更新沿切平面进行。参数更新后通过归一化投影回球面： \[ \theta {t+1} = \frac{\theta_ t - \eta \tilde{g}_ t}{\|\theta_ t - \eta \tilde{g}_ t\|_ 2} \] 与梯度裁剪的区别 梯度裁剪直接缩放梯度范数以限制更新幅度，但可能改变梯度方向。 梯度投影保持梯度的几何意义，确保参数始终满足约束，适合理论要求严格的场景（如正交化、概率 simplex 约束）。 实现细节 约束需满足凸性以保证投影唯一性。 投影计算需高效：例如对非负约束 \( \theta \geq 0 \)，投影为 \( \max(0, \theta) \)。 在深度学习框架中，可通过自定义梯度函数实现投影操作。 总结：梯度投影法通过将梯度约束在可行域的切空间，兼顾优化效率与理论约束，是处理带约束优化问题的有效工具。