核k-means聚类算法的原理与实现步骤
题目描述
核k-means是一种非线性聚类算法，通过核函数将原始数据映射到高维特征空间，使得在低维空间中线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。算法在特征空间中使用标准k-means进行聚类，从而实现对复杂结构数据的聚类。本题要求推导核k-means的数学原理，并逐步解释其计算过程。
解题过程
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问题定义
给定数据集 \(X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d\)，目标是将数据划分为 \(k\) 个簇。若数据非线性可分（如同心圆分布），直接应用k-means会失效。核k-means通过非线性映射 \(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathcal{H}\) 将数据映射到高维再生核希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\)，并在 \(\mathcal{H}\) 中执行k-means。 -
核函数引入
直接计算 \(\phi(x_i)\) 可能维度极高甚至无限，因此通过核函数 \(K(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle\) 隐式计算内积。常用核函数包括：- 高斯核： \(K(x_i, x_j) = \exp(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2})\)
- 多项式核： \(K(x_i, x_j) = (x_i^T x_j + c)^d\)
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特征空间中的k-means目标函数
在空间 \(\mathcal{H}\) 中，k-means的目标是最小化簇内方差：
\[ J = \sum_{j=1}^k \sum_{x_i \in C_j} \|\phi(x_i) - \mu_j^\phi\|^2 \]
其中 \(\mu_j^\phi = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} \phi(x_i)\) 是簇 \(C_j\) 在特征空间的均值向量。
- 距离计算的核化
关键步骤是将高维空间中的距离转化为核函数表示。对于数据点 \(\phi(x_i)\) 和簇中心 \(\mu_j^\phi\) 的距离：
\[ \|\phi(x_i) - \mu_j^\phi\|^2 = \langle \phi(x_i) - \mu_j^\phi, \phi(x_i) - \mu_j^\phi \rangle \]
展开后：
\[ = K(x_i, x_i) - \frac{2}{|C_j|} \sum_{x_r \in C_j} K(x_i, x_r) + \frac{1}{|C_j|^2} \sum_{x_r, x_s \in C_j} K(x_r, x_s) \]
其中：
- \(K(x_i, x_i)\) 是常数（如高斯核中恒为1）
- 第二项是 \(x_i\) 与簇 \(C_j\) 所有点的核函数均值
- 第三项是簇 \(C_j\) 内所有点对核函数的均值
- 算法步骤
输入：数据集 \(X\)，簇数 \(k\)，核函数 \(K\)
输出：簇划分 \(\{C_1, ..., C_k\}\)
（1）初始化：随机选择 \(k\) 个数据点作为初始簇中心（或随机分配标签）
（2）迭代直至收敛：
- 分配步骤：对每个点 \(x_i\)，计算其到各簇的距离（使用核化距离公式），将其分配到距离最近的簇：
\[ C_j = \arg\min_{j} \left[ K(x_i, x_i) - \frac{2}{|C_j|} \sum_{x_r \in C_j} K(x_i, x_r) + \frac{1}{|C_j|^2} \sum_{x_r, x_s \in C_j} K(x_r, x_s) \right] \]
- **更新步骤**：重新计算每个簇的“中心”在特征空间的表示（无需显式计算 $ \mu_j^\phi $，仅需维护簇成员关系）
（3）终止条件：簇分配不再变化或达到最大迭代次数
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复杂度与优化
- 直接计算需存储 \(n \times n\) 的核矩阵，空间复杂度 \(O(n^2)\)
- 每次迭代需计算所有点对簇的距离，时间复杂度 \(O(n^2 k)\)
- 优化方法：采用近似核矩阵或采样技术（如Nyström方法）
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示例说明
假设数据集为两个同心圆，线性k-means无法分离。使用高斯核后，数据在特征空间变为线性可分，核k-means能正确将内外圆划分为不同簇。
关键点：核k-means通过核技巧隐式处理高维特征空间中的计算，避免了显式映射，适用于非线性聚类场景。