高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的应用 题目描述 考虑计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 内存在一个狭窄的峰值（例如高斯型峰值 \( f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \)）。峰值区域宽度远小于积分区间，导致传统求积公式（如高斯-勒让德公式）在非峰值区域浪费计算资源，而在峰值区域采样不足，精度下降。要求使用高斯-克朗罗德积分法自适应处理此类问题，通过误差估计动态调整节点分布。 解题过程 问题分析 峰值函数的特征：函数在局部区域（如 \( x=0.5 \) 附近）变化剧烈，其他区域平缓。若使用固定节点求积公式（如 \( n \) 点高斯-勒让德公式），需大量节点才能捕捉峰值，计算效率低。 高斯-克朗罗德积分法的优势：结合高阶（如 \( 2n+1 \) 点）克朗罗德公式与低阶（如 \( n \) 点）高斯公式，通过两者差值估计局部误差，指导自适应细分。 高斯-克朗罗德积分法原理 设 \( G_ n \) 为 \( n \) 点高斯-勒让德公式的积分值，\( K_ {2n+1} \) 为 \( 2n+1 \) 点克朗罗德公式的积分值（克朗罗德节点包含高斯节点并新增中间点）。 误差估计：\( E = |K_ {2n+1} - G_ n| \)。若 \( E \) 超过阈值，将区间二分，递归应用相同过程。 算法步骤 步骤1：选择基础公式 常用组合：7点高斯-勒让德公式（\( G_ 7 \)）与15点克朗罗德公式（\( K_ {15} \)）。15个克朗罗德节点包含7个高斯节点和8个新增点，提高峰值区域的采样密度。 步骤2：单区间误差估计 计算当前区间（如初始区间 \([ -1, 1]\)）的 \( G_ 7 \) 和 \( K_ {15} \)： \[ G_ 7 = \sum_ {i=1}^{7} w_ i^{GL} f(x_ i^{GL}), \quad K_ {15} = \sum_ {j=1}^{15} w_ j^{K} f(x_ j^{K}) \] 若误差 \( E = |K_ {15} - G_ 7| \leq \epsilon \cdot (b-a) \)（\( \epsilon \) 为全局容差），接受 \( K_ {15} \) 作为该区间积分值。 步骤3：自适应细分 若 \( E > \epsilon \cdot (b-a) \)，将区间平分为两个子区间，对每个子区间递归执行步骤2-3。 细分策略确保在峰值区域（\( f(x) \) 变化大）自动增加节点，平缓区域减少计算。 峰值函数的处理技巧 初始区间选择 ：若峰值位置已知（如 \( x=0.5 \)），可初始划分区间为 \([ -1, 0.5]\) 和 \([ 0.5, 1 ]\)，加速收敛。 容差控制 ：峰值区域需更严的局部容差。可设置相对误差容差 \( \epsilon_ {\text{rel}} \) 与绝对误差容差 \( \epsilon_ {\text{abs}} \)，满足 \( E \leq \epsilon_ {\text{rel}} \cdot |K_ {15}| + \epsilon_ {\text{abs}} \)。 数值实验示例 令 \( f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \)，峰值宽度约 \( 0.1 \)（标准差 \( \sigma=0.05 \)）。 初始调用高斯-克朗罗德法于 \([ -1, 1 ]\)，误差估计超标后，区间逐步细分至峰值区域宽度约 \( 0.01 \)，最终积分值收敛至 \( \sqrt{\pi}/10 \approx 0.177245 \)。 复杂度与精度 计算量集中于峰值区域，非峰值区域仅需少量区间。总函数调用次数远低于均匀细分策略。 误差控制：克朗罗德公式精度高于高斯公式，自适应细分确保全局误差与 \( \epsilon \) 同阶。 总结 高斯-克朗罗德积分法通过动态误差估计和区间细分，有效平衡峰值区域与非峰值区域的计算资源分配，特别适合局部变化剧烈的函数积分。关键是通过克朗罗德公式的高精度节点增密，捕捉峰值细节，避免全局均匀采样的低效性。