最长公共子序列的变种：带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现）

字数 2895 2025-11-06 12:40:04

最长公共子序列的变种：带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现）

题目描述

给定两个字符串 s 和 t，以及一个整数 k。要求找出 s 和 t 的最长公共子序列（LCS），但这个子序列需要满足一个额外的条件：对于子序列中的任意一个字符，它必须连续出现至少 k 次。这里的“连续出现”是指在子序列中，相同的字符必须连续出现，形成一个连续的块，并且这个块的长度不能小于 k。如果某个字符在子序列中只出现一次，那么 k 必须为1才满足条件。如果无法找到满足条件的公共子序列，则返回0。

解题过程

问题分析与状态定义
这是一个带有限制条件的LCS变种。标准的LCS使用 dp[i][j] 表示 s[0..i-1] 和 t[0..j-1] 的LCS长度。现在我们需要额外考虑子序列中字符连续出现的次数限制。

我们需要扩展状态，以记录当前正在匹配的连续字符块的信息。关键思路是：当我们匹配到字符 c 时，我们不仅关心当前位置，还关心这个 c 是作为一个新连续块的开始，还是作为一个已有连续块的延续。

我们定义动态规划状态如下：
dp[i][j][c][cnt] 表示考虑字符串 s 的前 i 个字符和字符串 t 的前 j 个字符，并且当前的公共子序列以字符 c 结尾，且这个字符 c 已经连续出现了 cnt 次的情况下，满足条件的最长公共子序列的长度。

其中：
- i 的范围是 [0, len(s)]
- j 的范围是 [0, len(t)]
- c 是字符集中的一个字符（通常可以映射到0-25，如果只有小写字母）。
- cnt 的范围是 [1, k]（因为连续出现次数小于k的块是不合格的，但我们中间状态需要记录，最终有效块的cnt必须>=k。实际上，cnt可以从1记录到max(len(s), len(t))，但为了优化，我们可以只记录到k，因为当cnt>=k时，这个块已经合格，我们只关心合格块的最大长度，可以统一用k来表示cnt>=k的状态）。
为了优化，我们可以修改状态定义：
dp[i][j][c][cnt] 中 cnt 的范围是 [1, k]。
- 当 cnt < k 时，表示当前正在形成一个以 c 结尾的连续块，并且这个块当前长度是 cnt，尚未达到合格标准。
- 当 cnt == k 时，表示当前以 c 结尾的连续块已经达到合格标准（长度至少为k）。之后如果再添加相同的字符 c，块的长度会增加，但状态仍然可以保持在 cnt = k，因为我们只关心块是否合格，不关心超过k的具体长度。
状态转移方程
状态转移需要考虑以下几种情况：

a) 不匹配 s[i-1] 或 t[j-1]
- 继承 s 少一个字符的状态：dp[i][j][c][cnt] = max(dp[i][j][c][cnt], dp[i-1][j][c][cnt])
- 继承 t 少一个字符的状态：dp[i][j][c][cnt] = max(dp[i][j][c][cnt], dp[i][j-1][c][cnt])

b) 匹配 s[i-1] 和 t[j-1]，且 s[i-1] == c (延续当前块)
如果当前状态末尾字符 c 正好等于 s[i-1] 和 t[j-1]，那么我们可以延续当前的连续块。
- 如果 cnt < k：我们可以将连续块长度增加1。
dp[i][j][c][cnt+1] = max(dp[i][j][c][cnt+1], dp[i-1][j-1][c][cnt] + 1)
- 如果 cnt >= k (在状态中体现为 cnt == k)：延续块，但状态 cnt 保持为 k。
dp[i][j][c][k] = max(dp[i][j][c][k], dp[i-1][j-1][c][k] + 1)

c) 匹配 s[i-1] 和 t[j-1]，但 s[i-1] != c (开始一个新块)
如果匹配的字符是一个新的字符 ch (即 s[i-1] == t[j-1] = ch 且 ch != c)，那么我们需要结束当前的块（如果当前块是合格的，即 cnt >= k，或者当前块长度cnt>=1但我们可以选择开始新块），并开始一个以 ch 开头的新块。
新块的长度初始为1。
- 从合格块开始新块：如果之前存在一个以任意字符 c_prev 结尾的合格块 (cnt_prev >= k)，或者之前还没有任何块（初始状态），我们可以开始一个新块。
dp[i][j][ch][1] = max(dp[i][j][ch][1], dp[i-1][j-1][c_prev][cnt_prev] + 1) 对于所有 c_prev 和 cnt_prev >= k（或者初始状态值）。
- 特别注意初始状态：当 i=0 或 j=0 时，是空字符串，可以认为存在一个长度为0的“合格块”，这样从第一个匹配的字符开始，就可以开始一个长度为1的新块。
初始化
- 我们可以初始化一个“空序列”的状态。通常，我们可以设置一个初始值，表示还没有任何字符被选择。
- 令 dp[0][0][c][cnt] = 0 对于所有 c, cnt。但实际上，在 i=0 或 j=0 时，没有任何字符，我们用一个基础值0来表示空序列的长度。
- 在实际操作中，我们可能会使用一个很小的数（比如-10^9）来初始化所有状态，表示不可达，然后将 dp[0][0][*][*] 或者一个虚拟状态设为0。
最终结果
最终答案不是简单的 dp[len(s)][len(t)][*][*] 的最大值。因为最终形成的公共子序列，其最后一个连续块也必须是合格的（长度>=k）。
所以，我们需要在所有状态 dp[len(s)][len(t)][c][cnt] 中，寻找那些 cnt >= k 的状态，并取最大值。
answer = max{ dp[len(s)][len(t)][c][cnt] for all c, for all cnt >= k }
如果最大值是0（并且初始空序列我们设为0），说明没有找到任何合格的公共子序列，返回0。
复杂度优化
直接四维DP的状态数是 O(n * m * |Σ| * k)，其中 |Σ| 是字符集大小。如果字符串长度几百，字符集26，k不大，是可以接受的。如果很大，可能需要优化，比如用滚动数组优化空间。

总结
这个算法通过扩展LCS的状态，增加了“结尾字符”和“连续出现次数”两个维度，巧妙地处理了字符必须连续出现至少k次的限制。状态转移时，仔细区分了“延续当前块”和“开始新块”两种情况，确保了最终得到的公共子序列满足题目要求。

最长公共子序列的变种：带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现）题目描述给定两个字符串 s 和 t ，以及一个整数 k 。要求找出 s 和 t 的最长公共子序列（LCS），但这个子序列需要满足一个额外的条件：对于子序列中的任意一个字符，它必须连续出现至少 k 次。这里的“连续出现”是指在子序列中，相同的字符必须连续出现，形成一个连续的块，并且这个块的长度不能小于 k 。如果某个字符在子序列中只出现一次，那么 k 必须为1才满足条件。如果无法找到满足条件的公共子序列，则返回0。解题过程问题分析与状态定义这是一个带有限制条件的LCS变种。标准的LCS使用 dp[i][j] 表示 s[0..i-1] 和 t[0..j-1] 的LCS长度。现在我们需要额外考虑子序列中字符连续出现的次数限制。我们需要扩展状态，以记录当前正在匹配的连续字符块的信息。关键思路是：当我们匹配到字符 c 时，我们不仅关心当前位置，还关心这个 c 是作为一个新连续块的开始，还是作为一个已有连续块的延续。我们定义动态规划状态如下： dp[i][j][c][cnt] 表示考虑字符串 s 的前 i 个字符和字符串 t 的前 j 个字符，并且当前的公共子序列以字符 c 结尾，且这个字符 c 已经连续出现了 cnt 次的情况下，满足条件的最长公共子序列的长度。其中： i 的范围是 [ 0, len(s) ] j 的范围是 [ 0, len(t) ] c 是字符集中的一个字符（通常可以映射到0-25，如果只有小写字母）。 cnt 的范围是 [ 1, k]（因为连续出现次数小于k的块是不合格的，但我们中间状态需要记录，最终有效块的cnt必须>=k。实际上，cnt可以从1记录到 max(len(s), len(t)) ，但为了优化，我们可以只记录到k，因为当cnt>=k时，这个块已经合格，我们只关心合格块的最大长度，可以统一用k来表示cnt>=k的状态）。为了优化，我们可以修改状态定义： dp[i][j][c][cnt] 中 cnt 的范围是 [ 1, k ]。当 cnt < k 时，表示当前正在形成一个以 c 结尾的连续块，并且这个块当前长度是 cnt ，尚未达到合格标准。当 cnt == k 时，表示当前以 c 结尾的连续块已经达到合格标准（长度至少为k）。之后如果再添加相同的字符 c ，块的长度会增加，但状态仍然可以保持在 cnt = k ，因为我们只关心块是否合格，不关心超过k的具体长度。状态转移方程状态转移需要考虑以下几种情况： a) 不匹配 s[i-1] 或 t[j-1] - 继承 s 少一个字符的状态： dp[i][j][c][cnt] = max(dp[i][j][c][cnt], dp[i-1][j][c][cnt]) - 继承 t 少一个字符的状态： dp[i][j][c][cnt] = max(dp[i][j][c][cnt], dp[i][j-1][c][cnt]) b) 匹配 s[i-1] 和 t[j-1] ，且 s[i-1] == c (延续当前块) 如果当前状态末尾字符 c 正好等于 s[i-1] 和 t[j-1] ，那么我们可以延续当前的连续块。 - 如果 cnt < k ：我们可以将连续块长度增加1。 dp[i][j][c][cnt+1] = max(dp[i][j][c][cnt+1], dp[i-1][j-1][c][cnt] + 1) - 如果 cnt >= k (在状态中体现为 cnt == k )：延续块，但状态 cnt 保持为 k。 dp[i][j][c][k] = max(dp[i][j][c][k], dp[i-1][j-1][c][k] + 1) c) 匹配 s[i-1] 和 t[j-1] ，但 s[i-1] != c (开始一个新块) 如果匹配的字符是一个新的字符 ch (即 s[i-1] == t[j-1] = ch 且 ch != c )，那么我们需要结束当前的块（如果当前块是合格的，即 cnt >= k ，或者当前块长度cnt>=1但我们可以选择开始新块），并开始一个以 ch 开头的新块。新块的长度初始为1。 - 从合格块开始新块：如果之前存在一个以任意字符 c_prev 结尾的合格块 ( cnt_prev >= k )，或者之前还没有任何块（初始状态），我们可以开始一个新块。 dp[i][j][ch][1] = max(dp[i][j][ch][1], dp[i-1][j-1][c_prev][cnt_prev] + 1) 对于所有 c_prev 和 cnt_prev >= k （或者初始状态值）。 - 特别注意初始状态：当 i=0 或 j=0 时，是空字符串，可以认为存在一个长度为0的“合格块”，这样从第一个匹配的字符开始，就可以开始一个长度为1的新块。初始化我们可以初始化一个“空序列”的状态。通常，我们可以设置一个初始值，表示还没有任何字符被选择。令 dp[0][0][c][cnt] = 0 对于所有 c , cnt 。但实际上，在 i=0 或 j=0 时，没有任何字符，我们用一个基础值0来表示空序列的长度。在实际操作中，我们可能会使用一个很小的数（比如-10^9）来初始化所有状态，表示不可达，然后将 dp[0][0][*][*] 或者一个虚拟状态设为0。最终结果最终答案不是简单的 dp[len(s)][len(t)][*][*] 的最大值。因为最终形成的公共子序列，其最后一个连续块也必须是合格的（长度>=k）。所以，我们需要在所有状态 dp[len(s)][len(t)][c][cnt] 中，寻找那些 cnt >= k 的状态，并取最大值。 answer = max{ dp[len(s)][len(t)][c][cnt] for all c, for all cnt >= k } 如果最大值是0（并且初始空序列我们设为0），说明没有找到任何合格的公共子序列，返回0。复杂度优化直接四维DP的状态数是 O(n * m * |Σ| * k)，其中 |Σ| 是字符集大小。如果字符串长度几百，字符集26，k不大，是可以接受的。如果很大，可能需要优化，比如用滚动数组优化空间。总结这个算法通过扩展LCS的状态，增加了“结尾字符”和“连续出现次数”两个维度，巧妙地处理了字符必须连续出现至少k次的限制。状态转移时，仔细区分了“延续当前块”和“开始新块”两种情况，确保了最终得到的公共子序列满足题目要求。