其中 $ B = \tau(A) $，$ \lll k $ 表示循环左移k位。  

SM4分组密码算法的线性变换L设计 题目描述 SM4算法是中国国家密码管理局发布的分组密码算法标准，用于数据加密。其轮函数采用非线性变换τ与线性变换L复合的结构。线性变换L是SM4轮函数中的关键组成部分，负责提供算法的扩散特性。本题要求详细解析SM4线性变换L的设计原理、数学表达式、计算步骤及其密码学作用。 解题过程 线性变换L的定位 SM4的轮函数结构为：\( F(X_ i, X_ {i+1}, X_ {i+2}, X_ {i+3}, RK_ i) = X_ i \oplus T(X_ {i+1} \oplus X_ {i+2} \oplus X_ {i+3} \oplus RK_ i) \) 其中 \( T(\cdot) = L(\tau(\cdot)) \)，即先进行非线性变换τ（4个8×8的S盒并行处理），再进行线性变换L。 L的作用是将S盒输出的32位数据通过线性运算扩大扰动，确保多轮后达到充分的扩散。 数学表达式与计算步骤 设输入为32位字 \( A = (a_ 0, a_ 1, a_ 2, a_ 3) \)（每个a_ i为8位），L的定义为： \[ L(B) = B \oplus (B \lll 2) \oplus (B \lll 10) \oplus (B \lll 18) \oplus (B \lll 24) \] 其中 \( B = \tau(A) \)，\( \lll k \) 表示循环左移k位。 具体计算示例 （以B=0x12345678为例）： 步骤1：计算 \( B \lll 2 \) 0x12345678 → 二进制：00010010 00110100 01010110 01111000 循环左移2位：01001000 11010001 01011001 11100001 → 0x48D159E1 步骤2：计算 \( B \lll 10 \) 循环左移10位：10001101 00010101 10011110 00010010 → 0x8D159E12 步骤3：计算 \( B \lll 18 \) 和 \( B \lll 24 \)（类似操作，得0x56781234和0x78123456） 步骤4：异或求和 \( L(B) = 0x12345678 \oplus 0x48D159E1 \oplus 0x8D159E12 \oplus 0x56781234 \oplus 0x78123456 \) 密码学作用分析 扩散性 ：通过循环移位和异或，使单个S盒输出的变化扩散到整个32位字。例如，改变B的1个比特，平均可能影响L(B)的16个比特。 效率权衡 ：循环移位值（2,10,18,24）经优化选择，确保最小延迟且避免短周期。移位距离为互质数，增强混乱效果。 抗攻击性 ：线性变换的系数设计抵抗差分/线性密码分析，其分支数为5（即输入变化至少影响5个S盒输出）。 与整体算法关联 L与τ的复合确保SM4满足Shannon的混淆与扩散原则。 在32轮迭代中，L的扩散作用与S盒的非线性结合，使明文/密钥关系高度复杂化。 总结 SM4的线性变换L通过循环移位和异或的简单操作，实现了高效的扩散效果，其参数设计经过严格密码学分析，是SM4抵抗线性/差分攻击的关键保障。