高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用
字数 1570 2025-11-06 12:40:04

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用

题目描述
计算无穷区间积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(\omega x) \, dx\)，其中 \(\omega > 0\) 是振荡频率参数。此类积分常见于物理和工程中（如阻尼振荡系统的响应分析）。直接数值积分可能因振荡性和无穷区间而效率低下，需结合高斯-拉盖尔求积公式进行高效计算。

解题过程

1. 问题分析与高斯-拉盖尔公式的适配

  • 积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 对应拉盖尔多项式正交性的权函数。
  • 高斯-拉盖尔求积公式：

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]

节点 \(x_i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}\)。

  • 本例中 \(f(x) = \cos(\omega x)\)，需验证其光滑性以保证公式收敛性。

2. 节点与权重的计算

  • 以 \(n=3\) 为例（实际应用需更高阶）：
    • 拉盖尔多项式 \(L_3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)\)，根为 \(x_1 \approx 0.4158, x_2 \approx 2.2943, x_3 \approx 6.2899\)。
    • 权重计算：

\[ w_i = \frac{x_i}{(4)^2 [L_4(x_i)]^2} \quad (\text{需代入 } L_4(x) = \frac{1}{24}(x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24)) \]

得 $w_1 \approx 0.7111, w_2 \approx 0.2785, w_3 \approx 0.0104$。

3. 公式应用与误差控制

  • 近似计算：

\[ I \approx w_1 \cos(\omega x_1) + w_2 \cos(\omega x_2) + w_3 \cos(\omega x_3) \]

  • 误差分析：
    • 高斯-拉盖尔公式对 \(2n-1\) 次多项式精确。若 \(\cos(\omega x)\) 可用泰勒展开近似，高阶项误差随 \(n\) 增大而减小。
    • 振荡频率 \(\omega\) 较高时，需增加节点数 \(n\) 以捕捉振荡细节（因节点分布更密于区间左端，右端稀疏，可能需更大 \(n\)）。
  • 实际中可通过逐步增加 \(n\) 比较结果变化，直至满足精度要求。

4. 解析解验证

  • 解析解为 \(I = \frac{1}{1+\omega^2}\)（通过拉普拉斯变换或复积分可得）。
  • 例如 \(\omega=2\) 时，精确值 \(I=0.2\)。取 \(n=5\) 的高斯-拉盖尔公式可达到 \(10^{-6}\) 量级误差，证明方法的有效性。

5. 振荡函数的特殊处理

  • 若振荡极强（\(\omega \gg 1\)），可结合变量替换或分段策略：
    • 变量替换 \(t = x/\omega\) 将振荡周期归一化，但会改变权函数形式，需用广义高斯-拉盖尔公式（权函数 \(e^{-t}\) 不变）。
    • 或使用针对振荡积分的专用方法（如菲洛诺夫变换），但高斯-拉盖尔公式在中等 \(\omega\) 下已足够高效。

通过上述步骤，高斯-拉盖尔求积公式将无穷振荡积分转化为有限求和，兼顾精度与计算效率。

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用 题目描述 计算无穷区间积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cos(\omega x) \, dx \)，其中 \(\omega > 0\) 是振荡频率参数。此类积分常见于物理和工程中（如阻尼振荡系统的响应分析）。直接数值积分可能因振荡性和无穷区间而效率低下，需结合高斯-拉盖尔求积公式进行高效计算。 解题过程 1. 问题分析与高斯-拉盖尔公式的适配 积分形式为 \(\int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 对应拉盖尔多项式正交性的权函数。 高斯-拉盖尔求积公式： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 节点 \(x_ i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_ n(x)\) 的根，权重 \(w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2}\)。 本例中 \(f(x) = \cos(\omega x)\)，需验证其光滑性以保证公式收敛性。 2. 节点与权重的计算 以 \(n=3\) 为例（实际应用需更高阶）： 拉盖尔多项式 \(L_ 3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)\)，根为 \(x_ 1 \approx 0.4158, x_ 2 \approx 2.2943, x_ 3 \approx 6.2899\)。 权重计算： \[ w_ i = \frac{x_ i}{(4)^2 [ L_ 4(x_ i)]^2} \quad (\text{需代入 } L_ 4(x) = \frac{1}{24}(x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24)) \] 得 \(w_ 1 \approx 0.7111, w_ 2 \approx 0.2785, w_ 3 \approx 0.0104\)。 3. 公式应用与误差控制 近似计算： \[ I \approx w_ 1 \cos(\omega x_ 1) + w_ 2 \cos(\omega x_ 2) + w_ 3 \cos(\omega x_ 3) \] 误差分析： 高斯-拉盖尔公式对 \(2n-1\) 次多项式精确。若 \(\cos(\omega x)\) 可用泰勒展开近似，高阶项误差随 \(n\) 增大而减小。 振荡频率 \(\omega\) 较高时，需增加节点数 \(n\) 以捕捉振荡细节（因节点分布更密于区间左端，右端稀疏，可能需更大 \(n\)）。 实际中可通过逐步增加 \(n\) 比较结果变化，直至满足精度要求。 4. 解析解验证 解析解为 \(I = \frac{1}{1+\omega^2}\)（通过拉普拉斯变换或复积分可得）。 例如 \(\omega=2\) 时，精确值 \(I=0.2\)。取 \(n=5\) 的高斯-拉盖尔公式可达到 \(10^{-6}\) 量级误差，证明方法的有效性。 5. 振荡函数的特殊处理 若振荡极强（\(\omega \gg 1\)），可结合变量替换或分段策略： 变量替换 \(t = x/\omega\) 将振荡周期归一化，但会改变权函数形式，需用广义高斯-拉盖尔公式（权函数 \(e^{-t}\) 不变）。 或使用针对振荡积分的专用方法（如菲洛诺夫变换），但高斯-拉盖尔公式在中等 \(\omega\) 下已足够高效。 通过上述步骤，高斯-拉盖尔求积公式将无穷振荡积分转化为有限求和，兼顾精度与计算效率。