分块矩阵的预处理共轭梯度法解对称正定线性方程组

题目描述
考虑对称正定线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是大型稀疏矩阵。直接应用共轭梯度法（CG）可能收敛缓慢，尤其是当 \(A\) 的条件数较大时。分块矩阵的预处理共轭梯度法（PCG）通过引入预处理矩阵 \(M\) 来改善系数矩阵的谱性质，加速收敛。具体任务包括：

1. 将矩阵 \(A\) 按分块结构划分，设计分块预处理子 \(M\)（如分块对角预处理、分块不完全Cholesky预处理等）。
2. 利用分块预处理技术重构CG迭代过程，降低计算复杂度。
3. 分析预处理对收敛速度的影响。

解题过程

1. 问题分析与预处理思想

   • 对称正定矩阵 \(A\) 的条件数 \(\kappa(A)\) 较大时，CG法的收敛速度与 \(\sqrt{\kappa(A)}\) 成反比。预处理的目标是构造一个近似于 \(A^{-1}\) 的矩阵 \(M\)，使得 \(M^{-1}A\) 的谱分布更集中（条件数更小）。
   • 分块预处理将 \(A\) 划分为若干子矩阵块（例如按物理域或稀疏结构划分），并基于子矩阵构造 \(M\)。常见分块预处理子包括：
     • 分块对角预处理：\(M = \text{diag}(A_{11}, A_{22}, \dots, A_{kk})\)，其中 \(A_{ii}\) 为 \(A\) 的分块对角子矩阵。
     • 分块不完全Cholesky预处理：对 \(A\) 进行分块不完全Cholesky分解 \(A \approx LL^\top\)，令 \(M = LL^\top\)。

2. 分块预处理矩阵的构造

   • 以分块对角预处理为例：
     • 将 \(A\) 划分为 \(k \times k\) 的分块矩阵：

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk} \end{bmatrix} \]

 - 取 $ M = \text{diag}(A_{11}, A_{22}, \dots, A_{kk}) $。预处理系统变为 $ M^{-1}A\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b} $。  

• 分块不完全Cholesky预处理需保证 \(M\) 对称正定：
  • 对每个对角块 \(A_{ii}\) 进行不完全Cholesky分解（允许部分填充），得到 \(L_i L_i^\top \approx A_{ii}\)。
  • 整体预处理矩阵为 \(M = \text{diag}(L_1 L_1^\top, \dots, L_k L_k^\top)\)。

3. 预处理共轭梯度法迭代步骤
   • 初始化：选择初始解 \(\mathbf{x}_0\)，计算残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。
   • 预处理步骤：求解 \(M\mathbf{z}_0 = \mathbf{r}_0\)（即每步需解一个以 \(M\) 为系数的方程组）。
   • 迭代循环（对于 \(i = 0, 1, \dots\) 直到收敛）：
     1. 计算步长：

\[ \alpha_i = \frac{\mathbf{r}_i^\top \mathbf{z}_i}{\mathbf{p}_i^\top A\mathbf{p}_i} \]

 2. 更新解和残差：  

\[ \mathbf{x}_{i+1} = \mathbf{x}_i + \alpha_i \mathbf{p}_i, \quad \mathbf{r}_{i+1} = \mathbf{r}_i - \alpha_i A\mathbf{p}_i \]

 3. 预处理残差：求解 $ M\mathbf{z}_{i+1} = \mathbf{r}_{i+1} $。  
 4. 计算方向向量更新系数：  

\[ \beta_i = \frac{\mathbf{r}_{i+1}^\top \mathbf{z}_{i+1}}{\mathbf{r}_i^\top \mathbf{z}_i} \]

 5. 更新搜索方向：  

\[ \mathbf{p}_{i+1} = \mathbf{z}_{i+1} + \beta_i \mathbf{p}_i \]

4. 分块预处理的效率优化

   • 分块对角预处理中，求解 \(M\mathbf{z} = \mathbf{r}\) 可并行化：将 \(\mathbf{r}\) 按分块划分，独立求解每个子系统 \(A_{ii} \mathbf{z}_i = \mathbf{r}_i\)。
   • 对于分块不完全Cholesky预处理，每步需解 \(LL^\top \mathbf{z} = \mathbf{r}\)，可通过前代和回代并行处理各分块。
   • 关键点：预处理子 \(M\) 应尽可能近似 \(A^{-1}\)，但求解 \(M\mathbf{z} = \mathbf{r}\) 的计算成本需低于直接求解原系统。

5. 收敛性分析

   • 预处理后系统的条件数满足 \(\kappa(M^{-1}A) \ll \kappa(A)\)，迭代次数显著减少。
   • 分块预处理的效果取决于分块方式：若分块内耦合强而分块间耦合弱，\(M^{-1}A\) 的特征值将聚集在1附近，加速收敛。

总结
分块预处理共轭梯度法通过结合矩阵的分块结构和预处理技术，在保持CG法稳定性的同时大幅提升收敛速度。其核心在于平衡预处理子的近似精度与计算成本，适用于大规模稀疏对称正定问题。