蒙特卡洛策略评估（Monte Carlo Policy Evaluation）的原理与计算过程

题目描述
蒙特卡洛策略评估是强化学习中一种基于采样的方法，用于估计给定策略的状态值函数（或动作值函数）。其核心思想是通过与环境交互生成完整的回合（episode），利用回合中观察到的回报（return）来更新值函数的估计。与动态规划不同，蒙特卡洛方法无需知道环境模型（状态转移概率和奖励函数），直接依赖经验数据。

解题过程详解

1. 问题定义与目标

• 输入：
  • 策略 \(\pi(a|s)\)（待评估的策略）。
  • 多组完整回合数据，每个回合包含状态、动作、奖励序列：

\[ (S_0, A_0, R_1, S_1, A_1, R_2, \dots, S_T) \]

• 输出：状态值函数 \(V^\pi(s)\) 的估计，即从状态 \(s\) 开始遵循策略 \(\pi\) 的期望累积回报。

2. 核心概念：回报计算

• 累积回报 \(G_t\) 是从时刻 \(t\) 开始的折扣奖励和：

\[ G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \dots \]

其中 \(\gamma \in [0,1]\) 是折扣因子。

• 目标是通过采样逼近真实值：

\[ V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi[G_t \mid S_t = s] \]

3. 首次访问蒙特卡洛 vs. 每次访问蒙特卡洛

• 首次访问蒙特卡洛：

  • 对每个回合，仅当状态 \(s\) 第一次出现时，计算该位置的回报 \(G_t\)，并用于更新 \(V(s)\)。
  • 例如，回合序列为 \(s_1, s_2, s_1, s_3\)，则仅使用第一个 \(s_1\) 对应的回报。

• 每次访问蒙特卡洛：

  • 对回合中每次出现状态 \(s\)，都计算对应的 \(G_t\) 并更新 \(V(s)\)。

4. 算法步骤（以首次访问蒙特卡洛为例）

步骤1：初始化

• 初始化值函数估计 \(V(s)\) 为任意值（如0）。
• 初始化计数器 \(N(s)\) 记录状态 \(s\) 被访问的次数。

步骤2：生成回合

• 使用策略 \(\pi\) 与环境交互，生成一个完整回合（直到终止状态）。

步骤3：计算回报

• 从回合末尾反向计算每个时刻的 \(G_t\)：

\[ G_t = R_{t+1} + \gamma G_{t+1} \]

初始 \(G_T = 0\)（若回合在 \(T\) 步终止）。

步骤4：更新值函数

• 遍历回合中的每个状态 \(S_t\)：
  • 若 \(S_t\) 是首次出现在该回合中：
    • 增量更新计数：

\[ N(S_t) \leftarrow N(S_t) + 1 \]

- 增量更新值函数：  

\[ V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \frac{1}{N(S_t)} \left[ G_t - V(S_t) \right] \]

步骤5：重复

• 重复步骤2-4，直到值函数收敛（如 \(V(s)\) 变化小于阈值）。

5. 关键细节与优化

• 增量更新公式推导：
  假设已有 \(n-1\) 个样本的均值 \(V_{n-1}(s)\)，新增样本 \(G_n\) 时：

\[ V_n(s) = \frac{(n-1)V_{n-1}(s) + G_n}{n} = V_{n-1}(s) + \frac{1}{n} \left[ G_n - V_{n-1}(s) \right] \]

• 非平稳环境处理：
  若策略或环境变化，可使用固定步长 \(\alpha\) 替代 \(\frac{1}{N(s)}\)：

\[ V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha \left[ G_t - V(S_t) \right] \]

6. 优缺点分析

• 优点：
  • 无需环境模型，适用于复杂或未知模型的问题。
  • 对每个状态的估计相互独立，避免自举误差。
• 缺点：
  • 需要完整回合，不适用于片段式任务或无限长回合。
  • 方差较高（因依赖随机采样）。

通过以上步骤，蒙特卡洛策略评估能逐步逼近真实值函数，为策略改进（如蒙特卡洛控制）奠定基础。