龙贝格积分法的Richardson外推技术
字数 2400 2025-11-06 12:40:14

龙贝格积分法的Richardson外推技术

题目描述
龙贝格积分法是一种通过递归外推加速数值积分收敛的方法，其核心思想是利用复合梯形公式的低精度结果，通过Richardson外推技术逐步消除误差主项，得到高精度积分值。本题要求：

  1. 推导龙贝格积分法的外推公式；
  2. 分析外推过程中误差的衰减规律；
  3. 给出具体计算步骤，并验证其收敛性。

解题过程

1. 复合梯形公式的误差展开
设需计算积分 \(I = \int_a^b f(x)dx\)。将区间 \([a,b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间，步长 \(h_k = \frac{b-a}{2^k}\)，复合梯形公式的积分值记为 \(T_{0,k}\)，其误差可展开为：

\[I - T_{0,k} = c_1 h_k^2 + c_2 h_k^4 + c_3 h_k^6 + \cdots \]

其中 \(c_1, c_2, \cdots\) 是与 \(f(x)\) 的高阶导数相关的常数。误差主项为 \(O(h_k^2)\)。

2. Richardson外推的基本思想
若已知两个不同步长 \(h_k\) 和 \(h_{k-1}\) 的梯形公式结果 \(T_{0,k}\) 和 \(T_{0,k-1}\)，满足 \(h_k = h_{k-1}/2\)，则：

\[\begin{aligned} I &= T_{0,k} + c_1 h_k^2 + O(h_k^4), \\ I &= T_{0,k-1} + c_1 h_{k-1}^2 + O(h_{k-1}^4). \end{aligned} \]

将第二式乘以 \(4\) 减去第一式，消去 \(c_1 h_k^2\) 项：

\[4I - I = 4T_{0,k-1} - T_{0,k} + O(h_k^4) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{4T_{0,k} - T_{0,k-1}}{3} + O(h_k^4). \]

记外推结果为 \(T_{1,k} = \frac{4T_{0,k} - T_{0,k-1}}{3}\)，其误差为 \(O(h_k^4)\)。

3. 龙贝格表示法与递推公式
定义龙贝格表第 \(m\) 层第 \(k\) 项为 \(T_{m,k}\)，其中：

  • \(T_{0,k}\) 为步长 \(h_k\) 的复合梯形公式结果；
  • 外推公式为：

\[T_{m,k} = \frac{4^m T_{m-1,k} - T_{m-1,k-1}}{4^m - 1}, \quad m \geq 1, \ k \geq m. \]

每外推一次，误差阶提高 \(2\) 阶：\(T_{m,k}\) 的误差为 \(O(h_k^{2m+2})\)。

4. 计算步骤
以 \(k=0,1,2\) 为例：

  1. 初始化：计算 \(T_{0,0} = \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\)（区间未分割）。
  2. 细分区间：
    • \(k=1\)：步长 \(h_1=(b-a)/2\)，

\[ T_{0,1} = \frac{1}{2}T_{0,0} + h_1 f(a+h_1). \]

  • \(k=2\)：步长 \(h_2=(b-a)/4\)，

\[ T_{0,2} = \frac{1}{2}T_{0,1} + h_2 [f(a+h_2) + f(a+3h_2)]. \]

  1. 外推：
    • \(T_{1,1} = \frac{4T_{0,1} - T_{0,0}}{3}\)（误差 \(O(h_1^4)\)）；
    • \(T_{1,2} = \frac{4T_{0,2} - T_{0,1}}{3}\)；
    • \(T_{2,2} = \frac{16T_{1,2} - T_{1,1}}{15}\)（误差 \(O(h_2^6)\)）。

5. 收敛性验证
龙贝格积分法的收敛性依赖于 \(f(x)\) 的光滑性。若 \(f(x)\) 无限次可微，外推可无限进行，误差以指数速度衰减。实际计算中，当相邻外推结果 \(|T_{m,k} - T_{m-1,k-1}| < \varepsilon\) 时终止。

6. 实例演示
计算 \(I = \int_0^1 e^x dx\)，精确值 \(e-1 \approx 1.718281828\)。

  • \(T_{0,0} = \frac{1}{2}(1 + e) \approx 1.85914091\)；
  • \(T_{0,1} = \frac{1}{2}T_{0,0} + \frac{1}{2}e^{0.5} \approx 1.75393109\)；
  • \(T_{0,2} = \frac{1}{2}T_{0,1} + \frac{1}{4}[e^{0.25} + e^{0.75}] \approx 1.72722190\)。
    外推后：
  • \(T_{1,1} = \frac{4 \times 1.75393109 - 1.85914091}{3} \approx 1.71886115\)；
  • \(T_{1,2} = \frac{4 \times 1.72722190 - 1.75393109}{3} \approx 1.71831899\)；
  • \(T_{2,2} = \frac{16 \times 1.71831899 - 1.71886115}{15} \approx 1.71828184\)，误差仅 \(10^{-8}\)。

总结
龙贝格积分法通过逐步外推显著提升收敛速度，是高效的高精度数值积分算法，尤其适用于光滑函数。

龙贝格积分法的Richardson外推技术 题目描述 龙贝格积分法是一种通过递归外推加速数值积分收敛的方法，其核心思想是利用复合梯形公式的低精度结果，通过Richardson外推技术逐步消除误差主项，得到高精度积分值。本题要求： 推导龙贝格积分法的外推公式； 分析外推过程中误差的衰减规律； 给出具体计算步骤，并验证其收敛性。 解题过程 1. 复合梯形公式的误差展开 设需计算积分 \( I = \int_ a^b f(x)dx \)。将区间 \([ a,b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间，步长 \(h_ k = \frac{b-a}{2^k}\)，复合梯形公式的积分值记为 \(T_ {0,k}\)，其误差可展开为： \[ I - T_ {0,k} = c_ 1 h_ k^2 + c_ 2 h_ k^4 + c_ 3 h_ k^6 + \cdots \] 其中 \(c_ 1, c_ 2, \cdots\) 是与 \(f(x)\) 的高阶导数相关的常数。误差主项为 \(O(h_ k^2)\)。 2. Richardson外推的基本思想 若已知两个不同步长 \(h_ k\) 和 \(h_ {k-1}\) 的梯形公式结果 \(T_ {0,k}\) 和 \(T_ {0,k-1}\)，满足 \(h_ k = h_ {k-1}/2\)，则： \[ \begin{aligned} I &= T_ {0,k} + c_ 1 h_ k^2 + O(h_ k^4), \\ I &= T_ {0,k-1} + c_ 1 h_ {k-1}^2 + O(h_ {k-1}^4). \end{aligned} \] 将第二式乘以 \(4\) 减去第一式，消去 \(c_ 1 h_ k^2\) 项： \[ 4I - I = 4T_ {0,k-1} - T_ {0,k} + O(h_ k^4) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{4T_ {0,k} - T_ {0,k-1}}{3} + O(h_ k^4). \] 记外推结果为 \(T_ {1,k} = \frac{4T_ {0,k} - T_ {0,k-1}}{3}\)，其误差为 \(O(h_ k^4)\)。 3. 龙贝格表示法与递推公式 定义龙贝格表第 \(m\) 层第 \(k\) 项为 \(T_ {m,k}\)，其中： \(T_ {0,k}\) 为步长 \(h_ k\) 的复合梯形公式结果； 外推公式为： \[ T_ {m,k} = \frac{4^m T_ {m-1,k} - T_ {m-1,k-1}}{4^m - 1}, \quad m \geq 1, \ k \geq m. \] 每外推一次，误差阶提高 \(2\) 阶：\(T_ {m,k}\) 的误差为 \(O(h_ k^{2m+2})\)。 4. 计算步骤 以 \(k=0,1,2\) 为例： 初始化 ：计算 \(T_ {0,0} = \frac{b-a}{2}[ f(a)+f(b) ]\)（区间未分割）。 细分区间 ： \(k=1\)：步长 \(h_ 1=(b-a)/2\)， \[ T_ {0,1} = \frac{1}{2}T_ {0,0} + h_ 1 f(a+h_ 1). \] \(k=2\)：步长 \(h_ 2=(b-a)/4\)， \[ T_ {0,2} = \frac{1}{2}T_ {0,1} + h_ 2 [ f(a+h_ 2) + f(a+3h_ 2) ]. \] 外推 ： \(T_ {1,1} = \frac{4T_ {0,1} - T_ {0,0}}{3}\)（误差 \(O(h_ 1^4)\)）； \(T_ {1,2} = \frac{4T_ {0,2} - T_ {0,1}}{3}\)； \(T_ {2,2} = \frac{16T_ {1,2} - T_ {1,1}}{15}\)（误差 \(O(h_ 2^6)\)）。 5. 收敛性验证 龙贝格积分法的收敛性依赖于 \(f(x)\) 的光滑性。若 \(f(x)\) 无限次可微，外推可无限进行，误差以指数速度衰减。实际计算中，当相邻外推结果 \(|T_ {m,k} - T_ {m-1,k-1}| < \varepsilon\) 时终止。 6. 实例演示 计算 \(I = \int_ 0^1 e^x dx\)，精确值 \(e-1 \approx 1.718281828\)。 \(T_ {0,0} = \frac{1}{2}(1 + e) \approx 1.85914091\)； \(T_ {0,1} = \frac{1}{2}T_ {0,0} + \frac{1}{2}e^{0.5} \approx 1.75393109\)； \(T_ {0,2} = \frac{1}{2}T_ {0,1} + \frac{1}{4}[ e^{0.25} + e^{0.75} ] \approx 1.72722190\)。 外推后： \(T_ {1,1} = \frac{4 \times 1.75393109 - 1.85914091}{3} \approx 1.71886115\)； \(T_ {1,2} = \frac{4 \times 1.72722190 - 1.75393109}{3} \approx 1.71831899\)； \(T_ {2,2} = \frac{16 \times 1.71831899 - 1.71886115}{15} \approx 1.71828184\)，误差仅 \(10^{-8}\)。 总结 龙贝格积分法通过逐步外推显著提升收敛速度，是高效的高精度数值积分算法，尤其适用于光滑函数。