高斯-切比雪夫求积公式在振荡函数积分中的误差控制技巧
题目描述
考虑振荡函数的积分问题，例如：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \cos(\omega x) \, dx \]
其中 \(f(x)\) 是光滑函数，\(\omega\) 是较大的频率参数。直接使用标准数值积分方法（如高斯-勒让德求积）需要大量节点才能捕捉振荡行为。高斯-切比雪夫求积公式基于权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的正交多项式，但其默认形式不直接适用于振荡函数。本题要求：设计一种误差控制策略，将高斯-切比雪夫公式与振荡函数的特性结合，以较少的节点数实现高精度积分。
解题过程
1. 问题分析
振荡函数积分的主要挑战：
- 高频振荡导致被积函数在区间内符号频繁变化，需要密集采样才能准确积分。
- 若直接增加节点数，计算成本迅速上升。
- 高斯-切比雪夫公式的节点在区间端点附近密集分布，可能更适合捕捉边界振荡，但需调整以匹配振荡频率。
2. 高斯-切比雪夫公式回顾
标准高斯-切比雪夫求积公式（第一类）为：
\[\int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right) \]
节点 \(x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\) 是切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的根。
3. 振荡函数的变换与误差控制策略
步骤1：分离振荡部分
将被积函数写为：
\[f(x)\cos(\omega x) = \left[ f(x) \sqrt{1-x^2} \right] \cdot \frac{\cos(\omega x)}{\sqrt{1-x^2}} \]
此时积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)\sqrt{1-x^2} \cdot \cos(\omega x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
若直接应用高斯-切比雪夫公式，需计算 \(g(x) = f(x)\sqrt{1-x^2} \cos(\omega x)\)。但 \(\cos(\omega x)\) 的振荡性仍存在。
步骤2：利用振荡函数的渐近行为
当 \(\omega\) 较大时，振荡函数的积分可近似通过驻相法（Stationary Phase Method）分析。关键观察：
- 振荡函数的积分值主要贡献来自临界点（如端点、驻点）。
- 高斯-切比雪夫公式的节点在端点附近密集，天然适合捕捉端点贡献。
步骤3：误差控制的自适应策略
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子区间划分：
- 将区间 \([-1, 1]\) 划分为若干子区间，使每个子区间内振荡次数不超过预设值（例如每个子区间内 \(\omega \Delta x \leq \pi\)）。
- 划分后，在每个子区间上应用高斯-切比雪夫公式。
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节点数自适应选择：
- 根据子区间长度和 \(\omega\) 动态选择节点数 \(n\)。经验公式：
\[ n = \max\left( 10, \lceil \omega \cdot \Delta x \rceil \right) \]
其中 $ \Delta x $ 为子区间长度。
- 误差估计与迭代：
- 计算不同节点数（如 \(n\) 和 \(2n\)）结果的差值作为误差估计。
- 若误差超过容忍值，则细化子区间或增加节点数。
4. 具体计算示例
设 \(f(x) = e^x\), \(\omega = 50\)，积分 \(I = \int_{-1}^{1} e^x \cos(50x) \, dx\)。
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划分子区间：
- 每个振荡周期长度约 \(\frac{2\pi}{\omega} \approx 0.1256\)，将 \([-1, 1]\) 划分为长度约 \(0.125\) 的16个子区间。
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子区间积分：
- 对每个子区间 \([a, b]\)，作变量变换 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\) 将其映射到 \([-1, 1]\)。
- 应用高斯-切比雪夫公式计算：
\[ I_j = \int_{-1}^{1} \frac{f(x(t)) \cos(\omega x(t))}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{b-a}{2} \, dt \approx \frac{\pi (b-a)}{2n} \sum_{k=1}^{n} f(x(t_k)) \cos(\omega x(t_k)) \]
其中 $ t_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) $。
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误差控制：
- 分别用 \(n=10\) 和 \(n=20\) 计算每个子区间的积分，若差值大于 \(10^{-6}\)，则在该子区间内将 \(n\) 翻倍重新计算。
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结果汇总：
- 将所有子区间的积分值相加，得到最终结果。
5. 策略优势
- 通过子区间划分限制局部振荡次数，避免全局高节点数。
- 高斯-切比雪夫公式在端点处的密集采样天然匹配振荡函数的边界行为。
- 自适应策略确保在振荡剧烈区域投入更多计算资源。
此方法显著降低了高频振荡函数积分所需的计算成本，同时通过误差控制保证精度。