其中 $ \gamma_d $ 是文档 $ d $ 的狄利克雷参数，$ \phi_{dn} $ 是主题分配的多项式参数，$ \lambda_k $ 是主题 $ k $ 的狄利克雷参数。  

   需对 $ k $ 归一化使 $ \sum_k \phi_{dnk} = 1 $。  
 - **更新 $ \gamma_d $**：  

   表示文档 $ d $ 中主题 $ k $ 的预期计数。  

 其中 $ \mathbb{I} $ 为指示函数，统计词 $ v $ 被分配给主题 $ k $的预期次数。  

隐式狄利克雷分布（LDA）的变分推断（Variational Inference）算法原理与参数估计过程 题目描述 隐式狄利克雷分布（LDA）是一种生成式概率模型，用于从文本集合中自动发现潜在主题。模型假设每篇文档由多个主题混合而成，每个主题是词表上的概率分布。LDA的推断目标是计算后验分布（即给定文档下主题结构和参数的分布），但后验计算因耦合的隐变量（主题分配）而难以直接求解。变分推断（VI）通过引入一个简化的可分解分布（变分分布）来逼近真实后验，并通过优化变分参数最小化逼近分布与真实后验的KL散度。本题要求详细解释LDA的变分推断算法（又称变分EM），包括模型设定、变分分布设计、证据下界（ELBO）推导、变分参数优化过程，以及变分EM迭代步骤。 解题过程 LDA模型生成过程回顾 对于每个主题 \( k \in [ 1, K] \)，从狄利克雷分布 \( \text{Dir}(\beta) \) 生成主题-词分布 \( \phi_ k \)（\( \beta \) 为超参数）。 对于每篇文档 \( d \in [ 1, M ] \)： 从狄利克雷分布 \( \text{Dir}(\alpha) \) 生成文档-主题分布 \( \theta_ d \)（\( \alpha \) 为超参数）。 对于文档中的每个词位置 \( n \in [ 1, N_ d ] \)： 从多项式分布 \( \text{Mult}(\theta_ d) \) 生成主题编号 \( z_ {dn} \)。 从多项式分布 \( \text{Mult}(\phi_ {z_ {dn}}) \) 生成词 \( w_ {dn} \)。 隐变量包括所有 \( z_ {dn} \)（主题分配）和 \( \theta_ d \)、\( \phi_ k \)，观测变量为词 \( w_ {dn} \)。 变分推断核心思想 真实后验 \( p(\theta, z, \phi \mid w, \alpha, \beta) \) 因 \( \theta \) 和 \( z \) 的耦合而难以计算。 引入变分分布 \( q(\theta, z, \phi \mid \lambda, \gamma, \phi) \)，假设其可分解为： \[ q = \prod_ {d=1}^M q(\theta_ d \mid \gamma_ d) \prod_ {n=1}^{N_ d} q(z_ {dn} \mid \phi_ {dn}) \prod_ {k=1}^K q(\phi_ k \mid \lambda_ k) \] 其中 \( \gamma_ d \) 是文档 \( d \) 的狄利克雷参数，\( \phi_ {dn} \) 是主题分配的多项式参数，\( \lambda_ k \) 是主题 \( k \) 的狄利克雷参数。 目标是最小化 \( q \) 与真实后验的KL散度，等价于最大化证据下界（ELBO）： \[ \mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_ q[ \log p(w, \theta, z, \phi \mid \alpha, \beta)] - \mathbb{E}_ q[ \log q(\theta, z, \phi) ] \] ELBO的具体推导 联合概率分布的对数： \[ \log p(w, \theta, z, \phi \mid \alpha, \beta) = \log p(\phi \mid \beta) + \sum_ {d=1}^M \left[ \log p(\theta_ d \mid \alpha) + \sum_ {n=1}^{N_ d} \left( \log p(z_ {dn} \mid \theta_ d) + \log p(w_ {dn} \mid z_ {dn}, \phi) \right) \right ] \] 代入ELBO定义，利用变分分布的可分解性，将期望拆分为对 \( \theta_ d \)、\( z_ {dn} \)、\( \phi_ k \) 的独立积分。 最终ELBO表达式为（忽略常数项）： \[ \mathcal{L} = \sum_ {d=1}^M \left[ \mathbb{E} q[ \log p(\theta_ d \mid \alpha)] - \mathbb{E} q[ \log q(\theta_ d \mid \gamma_ d)] + \sum {n=1}^{N_ d} \left( \mathbb{E} q[ \log p(z {dn} \mid \theta_ d)] - \mathbb{E} q[ \log q(z {dn} \mid \phi {dn})] + \mathbb{E} q[ \log p(w {dn} \mid z_ {dn}, \phi)] \right) \right] + \sum_ {k=1}^K \left[ \mathbb{E}_ q[ \log p(\phi_ k \mid \beta)] - \mathbb{E}_ q[ \log q(\phi_ k \mid \lambda_ k)] \right ] \] 其中狄利克雷-多项式分布的期望有解析形式（如 \( \mathbb{E}[ \log \theta_ {dk}] = \psi(\gamma_ {dk}) - \psi(\sum_ j \gamma_ {dj}) \)，\( \psi \) 为digamma函数）。 变分参数优化（E步） 固定全局参数 \( \lambda_ k \)（主题分布），优化每个文档的局部参数 \( \gamma_ d \) 和 \( \phi_ {dn} \)： 更新 \( \phi_ {dn} \) ： \[ \phi_ {dnk} \propto \exp\left( \mathbb{E} q[ \log \theta {dk}] + \mathbb{E} q[ \log \phi {k, w_ {dn}}] \right) = \exp\left( \psi(\gamma_ {dk}) - \psi(\sum_ j \gamma_ {dj}) + \psi(\lambda_ {k, w_ {dn}}) - \psi(\sum_ v \lambda_ {kv}) \right) \] 需对 \( k \) 归一化使 \( \sum_ k \phi_ {dnk} = 1 \)。 更新 \( \gamma_ d \) ： \[ \gamma_ {dk} = \alpha_ k + \sum_ {n=1}^{N_ d} \phi_ {dnk} \] 表示文档 \( d \) 中主题 \( k \) 的预期计数。 迭代更新 \( \phi_ {dn} \) 和 \( \gamma_ d \) 直至收敛（通常少量迭代即可）。 全局参数优化（M步） 固定局部参数，更新全局主题-词分布参数 \( \lambda_ k \)： \[ \lambda_ {kv} = \beta_ v + \sum_ {d=1}^M \sum_ {n=1}^{N_ d} \phi_ {dnk} \cdot \mathbb{I}(w_ {dn} = v) \] 其中 \( \mathbb{I} \) 为指示函数，统计词 \( v \) 被分配给主题 \( k \)的预期次数。 超参数 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 可通过经验贝叶斯方法优化（此处略）。 变分EM算法整体流程 初始化 ：随机设置 \( \lambda_ k \)，或从均匀分布开始。 循环直至ELBO收敛 ： E步 ：对每篇文档 \( d \)，迭代更新 \( \phi_ {dn} \) 和 \( \gamma_ d \)。 M步 ：用所有文档的统计量更新 \( \lambda_ k \)。 计算ELBO ：监控收敛情况。 输出 ：变分参数 \( \gamma_ d \)（文档主题分布）、\( \lambda_ k \)（主题词分布），以及主题分配 \( \phi_ {dn} \)。 关键点说明 变分推断通过可分解假设将复杂推断转化为坐标上升优化，效率高于MCMC但可能低估后验方差。 ELBO的优化过程交替局部（文档级）和全局（语料级）参数，体现变分EM的特点。 实际中常使用更高效的变分方法（如随机VI）处理大规模数据。