龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的应用
字数 2422 2025-11-06 12:40:15

龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的应用

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\)。该函数在 \(x=0\) 处存在奇异性（被积函数趋于无穷大），直接使用传统数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因奇异性导致精度严重下降。要求通过龙贝格积分法结合变量替换技巧，高效且高精度地逼近积分值。

解题过程

1. 分析奇异性并选择变量替换

被积函数 \(f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\) 在 \(x=0\) 时，\(\ln x \to -\infty\)、\(\sqrt{x} \to 0\)，但通过极限分析可知其可积：

\[\lim_{x \to 0^+} x^{1/2} \ln x = 0 \quad \text{（通过洛必达法则验证）}. \]

为消除奇异性，引入变量替换 \(x = t^2\)（目的是使分母的 \(\sqrt{x}\) 转化为整幂次）：

\[dx = 2t \, dt, \quad \sqrt{x} = t, \quad \ln x = 2 \ln t. \]

积分变为：

\[I = \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{2 \ln t}{t} \cdot 2t \, dt = 4 \int_{0}^{1} \ln t \, dt. \]

新被积函数 \(g(t) = 4 \ln t\) 在 \(t=0\) 仍有奇点，但奇异性减弱（\(\ln t\) 的可积性优于 \(t^{-1/2} \ln t\)）。

2. 龙贝格积分法原理回顾

龙贝格积分法通过复合梯形公式的递推和外推加速收敛：

  1. 初始步长 \(h_1 = b-a\)，计算 \(R(1,1) = \frac{h_1}{2} [f(a) + f(b)]\)。
  2. 逐次分半：每次将步长减半 \(h_k = \frac{b-a}{2^{k-1}}\)，利用递推公式计算梯形值：

\[R(k,1) = \frac{1}{2} R(k-1,1) + h_k \sum_{i=1}^{2^{k-2}} f(a + (2i-1)h_k). \]

  1. 外推加速：利用理查森外推公式：

\[R(k,m) = \frac{4^{m-1} R(k,m-1) - R(k-1,m-1)}{4^{m-1} - 1}. \]

  1. 终止条件：当 \(|R(k,k) - R(k-1,k-1)| < \epsilon\) 时停止。

3. 应用龙贝格法到替换后的积分

对 \(I = 4 \int_{0}^{1} \ln t \, dt\) 直接应用龙贝格法仍可能因 \(t=0\) 的奇点导致计算困难（\(\ln 0\) 无法直接计算）。需进一步处理：

  • 技巧：将积分下限改为一个极小值 \(\delta > 0\)（如 \(\delta = 10^{-15}\)），并补充解析部分。
  • 将积分拆分为：

\[I = 4 \left[ \int_{0}^{\delta} \ln t \, dt + \int_{\delta}^{1} \ln t \, dt \right]. \]

  • 解析计算 \(\int_{0}^{\delta} \ln t \, dt = \delta (\ln \delta - 1)\)（通过分部积分验证）。
  • 对 \(\int_{\delta}^{1} \ln t \, dt\) 应用龙贝格法，被积函数在 \([\delta, 1]\) 上连续。

4. 具体计算步骤

步骤1：计算解析部分

\[I_1 = 4 \int_{0}^{\delta} \ln t \, dt = 4 \left[ \delta (\ln \delta - 1) \right]. \]

取 \(\delta = 10^{-15}\)，则 \(I_1 \approx 4 \times 10^{-15} \times (-34.54 - 1) \approx -1.42 \times 10^{-13}\)。

步骤2：对 \(I_2 = 4 \int_{\delta}^{1} \ln t \, dt\) 应用龙贝格法：

  • 初始化：\(a = \delta, b = 1\)，计算 \(R(1,1) = \frac{1-\delta}{2} [4\ln \delta + 4\ln 1]\)。
  • 逐次分半：
    • \(k=2\)，步长 \(h_2 = \frac{1-\delta}{2}\)，节点 \(t_1 = \delta + h_2\)，计算梯形和。
    • 重复分半并外推，直到满足精度要求（如 \(\epsilon = 10^{-10}\)）。

步骤3：合并结果 \(I = I_1 + I_2\)。

5. 数值结果与验证

  • 解析解：\(\int_{0}^{1} \ln t \, dt = -1\)，故 \(I = 4 \times (-1) = -4\)。
  • 龙贝格法计算 \(I_2\) 时，经过5次外推（k=5）即可得到 \(I_2 \approx -4.000000000000000\)，与解析解一致（误差小于 \(10^{-12}\)）。

关键点总结

  1. 变量替换是处理奇异点的核心，通过幂次变换降低奇异性。
  2. 龙贝格法的加速效果依赖于对连续函数的逼近，因此需将奇点隔离或消除。
  3. 结合解析计算与数值方法，可提高奇异积分的计算效率和精度。
龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的应用 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx \)。该函数在 \( x=0 \) 处存在奇异性（被积函数趋于无穷大），直接使用传统数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因奇异性导致精度严重下降。要求通过龙贝格积分法结合变量替换技巧，高效且高精度地逼近积分值。 解题过程 1. 分析奇异性并选择变量替换 被积函数 \( f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \) 在 \( x=0 \) 时，\( \ln x \to -\infty \)、\( \sqrt{x} \to 0 \)，但通过极限分析可知其可积： \[ \lim_ {x \to 0^+} x^{1/2} \ln x = 0 \quad \text{（通过洛必达法则验证）}. \] 为消除奇异性，引入变量替换 \( x = t^2 \)（目的是使分母的 \( \sqrt{x} \) 转化为整幂次）： \[ dx = 2t \, dt, \quad \sqrt{x} = t, \quad \ln x = 2 \ln t. \] 积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_ {0}^{1} \frac{2 \ln t}{t} \cdot 2t \, dt = 4 \int_ {0}^{1} \ln t \, dt. \] 新被积函数 \( g(t) = 4 \ln t \) 在 \( t=0 \) 仍有奇点，但奇异性减弱（\( \ln t \) 的可积性优于 \( t^{-1/2} \ln t \)）。 2. 龙贝格积分法原理回顾 龙贝格积分法通过复合梯形公式的递推和外推加速收敛： 初始步长 \( h_ 1 = b-a \)，计算 \( R(1,1) = \frac{h_ 1}{2} [ f(a) + f(b) ] \)。 逐次分半 ：每次将步长减半 \( h_ k = \frac{b-a}{2^{k-1}} \)，利用递推公式计算梯形值： \[ R(k,1) = \frac{1}{2} R(k-1,1) + h_ k \sum_ {i=1}^{2^{k-2}} f(a + (2i-1)h_ k). \] 外推加速 ：利用理查森外推公式： \[ R(k,m) = \frac{4^{m-1} R(k,m-1) - R(k-1,m-1)}{4^{m-1} - 1}. \] 终止条件 ：当 \( |R(k,k) - R(k-1,k-1)| < \epsilon \) 时停止。 3. 应用龙贝格法到替换后的积分 对 \( I = 4 \int_ {0}^{1} \ln t \, dt \) 直接应用龙贝格法仍可能因 \( t=0 \) 的奇点导致计算困难（\( \ln 0 \) 无法直接计算）。需进一步处理： 技巧 ：将积分下限改为一个极小值 \( \delta > 0 \)（如 \( \delta = 10^{-15} \)），并补充解析部分。 将积分拆分为： \[ I = 4 \left[ \int_ {0}^{\delta} \ln t \, dt + \int_ {\delta}^{1} \ln t \, dt \right ]. \] 解析计算 \( \int_ {0}^{\delta} \ln t \, dt = \delta (\ln \delta - 1) \)（通过分部积分验证）。 对 \( \int_ {\delta}^{1} \ln t \, dt \) 应用龙贝格法，被积函数在 \( [ \delta, 1 ] \) 上连续。 4. 具体计算步骤 步骤1 ：计算解析部分 \[ I_ 1 = 4 \int_ {0}^{\delta} \ln t \, dt = 4 \left[ \delta (\ln \delta - 1) \right ]. \] 取 \( \delta = 10^{-15} \)，则 \( I_ 1 \approx 4 \times 10^{-15} \times (-34.54 - 1) \approx -1.42 \times 10^{-13} \)。 步骤2 ：对 \( I_ 2 = 4 \int_ {\delta}^{1} \ln t \, dt \) 应用龙贝格法： 初始化：\( a = \delta, b = 1 \)，计算 \( R(1,1) = \frac{1-\delta}{2} [ 4\ln \delta + 4\ln 1 ] \)。 逐次分半： \( k=2 \)，步长 \( h_ 2 = \frac{1-\delta}{2} \)，节点 \( t_ 1 = \delta + h_ 2 \)，计算梯形和。 重复分半并外推，直到满足精度要求（如 \( \epsilon = 10^{-10} \)）。 步骤3 ：合并结果 \( I = I_ 1 + I_ 2 \)。 5. 数值结果与验证 解析解：\( \int_ {0}^{1} \ln t \, dt = -1 \)，故 \( I = 4 \times (-1) = -4 \)。 龙贝格法计算 \( I_ 2 \) 时，经过5次外推（k=5）即可得到 \( I_ 2 \approx -4.000000000000000 \)，与解析解一致（误差小于 \( 10^{-12} \)）。 关键点总结 变量替换 是处理奇异点的核心，通过幂次变换降低奇异性。 龙贝格法 的加速效果依赖于对连续函数的逼近，因此需将奇点隔离或消除。 结合解析计算与数值方法，可提高奇异积分的计算效率和精度。