高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用 题目描述 考虑计算无穷区间上的积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sin(x) \, dx \] 该积分的特点是：被积函数包含指数衰减因子 \( e^{-x} \) 和振荡函数 \( \sin(x) \)。这类积分在物理和工程中常见（如阻尼振动模型），但直接数值求解可能因振荡性和无穷区间而低效。要求使用高斯-拉盖尔求积公式高效计算该积分。 解题过程 步骤1: 理解高斯-拉盖尔求积公式的适用性 高斯-拉盖尔公式专用于计算形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分，其权函数为 \( e^{-x} \)。 公式将积分近似为加权和： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根（节点），\( w_ i \) 是对应权重。 本题中 \( f(x) = \sin(x) \)，符合公式要求。 步骤2: 确定节点和权重 对于 \( n \) 点公式，需查找或计算 \( n \) 阶拉盖尔多项式的根 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \)（通常通过标准数学库获取）。 例如，\( n=2 \) 时： 节点：\( x_ 1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.5858, \quad x_ 2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.4142 \) 权重：\( w_ 1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.8536, \quad w_ 2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \approx 0.1464 \) 步骤3: 应用公式计算近似值 将 \( f(x_ i) = \sin(x_ i) \) 代入公式： \[ I_ n = \sum_ {i=1}^{n} w_ i \sin(x_ i) \] 以 \( n=2 \) 为例： \[ I_ 2 = w_ 1 \sin(x_ 1) + w_ 2 \sin(x_ 2) \approx 0.8536 \times \sin(0.5858) + 0.1464 \times \sin(3.4142) \approx 0.8536 \times 0.5529 + 0.1464 \times (-0.2850) \approx 0.4719 - 0.0417 = 0.4302 \] 真实值通过解析法可得 \( I = \frac{1}{2} = 0.5 \)，相对误差约14%。 步骤4: 提高精度（增加节点数） 增加 \( n \) 可提升精度。例如 \( n=5 \) 时（节点和权重需查表）： \[ I_ 5 = \sum_ {i=1}^{5} w_ i \sin(x_ i) \approx 0.5 \] 误差显著减小（通常 \( n \) 增大时指数收敛）。 步骤5: 分析振荡函数的处理优势 传统方法（如复合梯形法）需截断无穷区间并密集采样以捕捉振荡，计算量大。 高斯-拉盖尔公式通过节点自动集中在 \( e^{-x} \) 显著的区域（如 \( x \in [ 0, 10 ] \)），且高次多项式能精确拟合振荡行为，避免人工截断误差。 关键点总结 高斯-拉盖尔公式直接匹配无穷区间和指数衰减权函数。 振荡函数 \( \sin(x) \) 可通过多项式插值精确近似，无需特殊处理。 节点数 \( n \) 的选择平衡精度与计算成本，通常 \( n \geq 5 \) 可获高精度结果。