非线性规划中的填充函数法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题：min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²，其中 x ∈ ℝ²。该问题具有多个局部极小点，其中全局极小点位于 (2, 1)，f(2, 1) = 0。请使用填充函数法逃离当前局部极小点 x* ≈ (0.945, 0.472)（对应 f ≈ 1.857），寻找更优解。 解题过程 填充函数法原理 ：该方法通过构造一个辅助函数（填充函数），从当前局部极小点“填充”到更低区域。填充函数需满足：在当前点处取得极大值，在更低区域有极小值，且函数值在边界处较大，引导搜索向更优解移动。 构造填充函数 ：采用经典形式 P(x, ρ) = 1 / [ ρ + f(x) - f(x* )]，其中 ρ > 0 为控制参数。在当前点 x* ，分母为 ρ，函数值较大；当 f(x) < f(x* ) 时，分母变小，函数值增大，但在更优解附近可能出现极小点。 具体计算步骤 ： 步骤1 ：设当前局部极小点 x* = (0.945, 0.472)，f(x* ) ≈ 1.857。选择参数 ρ = 0.5，构造填充函数 P(x, ρ) = 1 / [ 0.5 + f(x) - 1.857 ]。 步骤2 ：从 x* 出发，对 P(x, ρ) 进行局部极大化（因 P 在 x* 处为极大），以逃离当前区域。采用梯度法：计算 ∇P(x, ρ) = -∇f(x) / [ ρ + f(x) - f(x* )]²，其中 ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]。 步骤3 ：沿 ∇P 方向移动（注意这是梯度上升），例如取步长 α = 0.1，迭代 x_ {k+1} = x_ k + α ∇P(x_ k)。经过几步迭代后，x 移动到 (1.5, 0.8) 附近，此时 f(x) ≈ 1.2 < f(x* )。 步骤4 ：在 f(x) < f(x* ) 的区域，对原函数 f(x) 进行局部极小化（如梯度下降），找到更优解 (2, 1)，f(2, 1) = 0。 参数调整 ：若 ρ 过大，P(x) 过于平坦，难以逃离；若 ρ 过小，P(x) 可能无界。可尝试 ρ = 0.1 或 1.0 重复步骤2-4，验证收敛性。 结论 ：通过填充函数法，成功从局部极小点 (0.945, 0.472) 逃离，找到全局极小点 (2, 1)。