高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的应用

题目描述
考虑计算带端点奇异性的积分：

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 附近具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性，而 \(f(x)\) 是区间 \([-1,1]\) 上的光滑函数（如多项式或解析函数）。要求利用高斯-切比雪夫求积公式高效计算此类积分，并分析其数值精度。

解题过程

1. 问题分析与挑战

   • 积分在端点 \(x = \pm 1\) 处被积函数趋于无穷大，但积分本身可能收敛（例如当奇异性可积时）。
   • 传统数值方法（如牛顿-科特斯公式）在奇异性附近误差较大，需极细的分割才能保证精度。
   • 高斯-切比雪夫求积公式的权函数 \(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 恰好匹配积分中的奇异性，可自然消除端点奇异性的影响。

2. 高斯-切比雪夫求积公式回顾

   • 公式形式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k g(x_k) \]

 其中节点 $x_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)$ 是切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 的零点，权重 $w_k = \frac{\pi}{n}$ 为常数。  

• 该公式对次数低于 \(2n\) 的多项式 \(g(x)\) 能精确积分，具有最高代数精度。

3. 应用于带奇异性积分
   • 将原积分中的 \(f(x)\) 视为公式中的 \(g(x)\)，直接应用高斯-切比雪夫公式：

\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \right). \]

• 关键优势：权重 \(w_k = \pi/n\) 隐含了奇异性处理，无需显式变量替换或分割区间。

4. 误差分析
   • 若 \(f(x)\) 是次数不超过 \(2n-1\) 的多项式，则计算结果精确。
   • 对于一般光滑函数 \(f(x)\)，误差以指数速度收敛（因为切比雪夫节点在边界附近密集，能有效捕捉奇异性行为）。
   • 误差估计：

\[ |E_n| \leq \frac{\pi}{2^{2n-1}(2n)!} \max_{x \in [-1,1]} |f^{(2n)}(x)|. \]

5. 计算步骤示例
   以 \(f(x) = e^x\) 为例，计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)：
   • 选择节点数 \(n=3\)，节点为：

\[ x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

• 计算函数值：

\[ f(x_1) = e^{\sqrt{3}/2}, \quad f(x_2) = 1, \quad f(x_3) = e^{-\sqrt{3}/2}. \]

• 近似积分：

\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left( e^{\sqrt{3}/2} + 1 + e^{-\sqrt{3}/2} \right). \]

6. 实际应用注意事项
   • 当 \(f(x)\) 在端点处有更强奇异性（如 \(1/(1-x^2)\)）时，需结合变量替换进一步处理。
   • 对于高精度需求，可逐步增加 \(n\) 并观察结果收敛性。
   • 若积分区间为 \([a,b] \neq [-1,1]\)，需先通过线性变换将区间映射到 \([-1,1]\)。

总结
高斯-切比雪夫求积公式通过其权函数和节点的特殊设计，天然适用于带端点奇异性的积分计算，避免了显式处理奇异性的复杂性，且对光滑被积函数具有指数级收敛速度。